Les volumes et la masse volumique

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Le volume des solides usuels se calcule à l’aide de formules qu’il est conseillé de mémoriser.

1 - Apprendre le cours

On désigne par V le volume d’un solide dans les formules du cours.

A - Cube

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Exemple

Le volume d’un cube dont l’arête mesure 1,5 cm est : V = 1,53 = 3,375 cm3.

B - Parallélépipède rectangle (ou pavé droit)

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Exemple

Le volume d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 5 cm, 4 cm et 3 cm est : V = 5 × 4 × 3 = 60 cm3.

C - Prisme droit​

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Exemple

Le volume d’un prisme droit de hauteur 3 cm et dont la base est un triangle rectangle de côtés 5 cm et 4 cm (côtés de l’angle droit) est : 

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D - Pyramide

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Exemple

Le volume d’une pyramide dont la base est un carré de côté 7 m et de hauteur 9 m est : V = (1/3) x 72 x 9 = 147 m3

E - Cylindre de révolution

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​Exemple

Le volume d’un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 2 cm est : V = π × 52 × 2 ≈ 157 cm3 (valeur arrondie à l’unité).

F - Cône de révolution

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Exemple

Le volume d’un cône de révolution dont le rayon de la base mesure 14 mm et la hauteur 6 mm est : V = (1/3) ×  π × 142 × 6 ≈ 1 232 mm3 .

G - Boule

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Exemple

Le volume d’une boule de rayon 1,2 cm est : V = (4/3) × π × 1,23 ≈ 7,2 cm3 .

H - Masse volumique

La masse volumique d’un corps est la masse par unité de volume de ce corps.
La masse volumique s’exprime en général en g/cm3 ou en kg/dm3.

Exemple

La masse volumique du cuivre est de 8,9 kg/dm3. Cela signifie que 1 dm3 de cuivre a une masse de 8,9 kg.​

Méthode : comment calculer le volume d'un objet composé de plusieurs solides ? 

Énoncé

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Une entreprise doit construire des plots en béton à installer au bord des trottoirs. Ces plots sont formés d’un cylindre de révolution surmonté d’une demi- boule de même diamètre. Le diamètre du cylindre est 30 cm. La hauteur totale du plot est 55 cm. Calculer, en cm3, le volume de béton nécessaire à la construction de ce plot. Arrondir à l’unité.

Réponse : 

Calculez le volume de chacun des solides qui compose l’objet, puis faites leur somme.


  • On calcule le rayon du cylindre et de la demi-boule : rayon = 30 ÷ 2 = 15 cm.
  • On calcule la hauteur du cylindre : hauteur = 55 − 15 = 40 cm.
  • On calcule le volume V1 du cylindre : V1 = π × 152 × 40 ≈ 28 274,3 cm3.
  • On calcule le volume V2 de la demi-boule : V2 = (1/2) x (4/3) × π × 153 ≈ 7 068,6 cm3.
  • On calcule le volume du plot : V = V1 + V2 = 28 274,3 + 7 068,6 = 35 342,9 cm3.

2 - Appliquer le cours

EXERCICES

1. a. Calculer, en litres, le volume d’un cube d’arête 16 cm.

b. Calculer, en cm3, le volume d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 7 cm, 2,5 cm et 3,1 cm.

c. Une pile est un cylindre de 10 mm de diamètre et de 4 cm de hauteur. Calculer, en cm3, le volume de la pile.

d. Calculer, en m3, le volume d’un prisme droit de hauteur 3 m et dont la base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 2 m et 0,5 m.

e. Calculer le volume d’un cône de rayon 6 dm et de hauteur 10 dm. Arrondir au dm3. 


2. Une boîte alimentaire a la forme d’un parallélépipède rectangle. Sa base est un carré de côté 7 cm et sa hauteur mesure 21 cm. La boîte est remplie de soupe aux deux tiers de sa hauteur. Calculer le volume de soupe contenu dans la boîte.

3. Parmi les solides suivants, quel est celui qui a le plus grand volume ?
 - A un parallélépipède rectangle de dimensions 6 cm, 4 cm, 2 cm ;
– B un cube d’arête 3 cm ;
– C un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 2 cm.

4. La balise ci-dessous est formée d’une demi-boule surmontée d’un cône de révolution de sommet A. Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône et le point O est le centre de cette base. On donne AO = BC = 6 dm. Calculer le volume de la balise. Arrondir à 0,1 dm3.

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5. Voici le schéma d’une borne kilométrique au bord d’une route. La face avant est un rectangle surmonté d’un demi-disque.

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La borne mesure 57 cm de hauteur totale, 36 cm de largeur et 24 cm de profondeur. Quel est le volume de la borne, en dm3 ? Arrondir à l’unité.

6. Calculer la masse d’un cube d’argent d’arête 2 cm (masse volumique de l’argent : 10,5 g/cm3).


7. Une péniche a un chargement de sable en forme de parallélépipède rectangle d’une longueur de 30 m, d’une largeur de 5,2 m et d’une hauteur de 0,9 m. Sachant que la masse volumique du sable est 1,8 t/m3, quelle est la masse de sable exprimée en quintaux ?

CORRIGÉ

1. a. Volume du cube : 163 = 4 096 cm3.

b. Volume du parallélépipède rectangle : 7 × 2,5 × 3,1 = 54,25 cm3

c. Rayon de la pile : 10 ÷ 2 = 5 mm = 0,5 cm.
Volume de la pile : π × 0,52 × 4 ≈ 3,14 cm3.

d. Aire de la base du prisme : (2 x 0,5) / 2 = 0,5 m2.
Volume du prisme : 0,5 × 3 = 1,5 m3.

e. Volume du cône : (1/3)× π × 62 × 10 ≈ 377 dm3.


2. Hauteur de soupe : 21 × (2/3) = 14 cm

Volume de soupe : 72 × 14 = 686 cm3.

3. Volume du parallélépipède rectangle : 6 × 4 × 2 = 48 cm3. Volume du cube : 33 = 27 cm3.
Volume du cylindre : π × 32 × 2 ≈ 57 cm3.
C’est le cylindre qui a le plus grand volume.

4. Volume du cône : 31 × π × 32 × 6 = 18π dm3.

Volume de la demi-boule : (1/2) x (4/3) × π × 33 = 18π dm3.

Volume de la balise : 18π + 18π = 36π dm3 ≈ 113,1 dm3.

5. Hauteur du parallélépipède rectangle : 57 − 18 = 39 cm.

Volume du parallélépipède rectangle : 36 × 24 × 39 = 33 696 cm3 = 33,696 dm3. Volume du demi-cylindre : (π × 182 × 24) ÷ 2 ≈ 12 215 cm3, soit 12,215 dm3. Volume de la borne : 33,696 + 12,215 = 45,911 dm3, donc 46 dm3 en arrondissant au dm3.

6. Volume du cube : 23 = 8 cm3. Masse du cube : 10,5 × 8 = 84 g.


7. Volume du sable : 30 × 5,2 × 0,9 = 140,4 m3.
Masse du sable : 1,8 × 140,4 = 252,72 tonnes = 2 527,2 quintaux.