Pour traiter certains problèmes, il faut utiliser une méthode dite « algébrique » qui nécessite de savoir résoudre des systèmes d’équations.
1 - Apprendre le cours
A - Les équations du 1er degré à deux inconnues
Une équation du 1er degré à deux inconnues x et y est une équation de la forme ax + by = c, dans laquelle a, b et c sont des nombres donnés.
Exemple
7x − 3y = 17 est une équation à deux inconnues x et y.
Un couple de valeurs numériques est solution d’une telle équation lorsqu’on obtient une égalité en remplaçant les inconnues par ces valeurs.
Exemple
Le couple (2 ; − 1) est une solution de l’équation 7x − 3y = 17 car :7 × 2 − 3 × (− 1) = 14 + 3 = 17.On dit aussi que les valeurs 2 et − 1 vérifient l’équation.Attention à l’ordre des termes du couple ! Le premier terme donne la valeur de x, le second donne la valeur de y.
Le couple (− 1 ; 2) n’est pas solution de l’équation 7x − 3y = 17 car 7 × (− 1) − 3 × 2 ≠ 17.
Pour obtenir un couple solution d’une équation à deux inconnues, on peut fixer la valeur d’une inconnue et calculer la valeur de l’autre.
Une équation du premier degré à deux inconnues a une infinité de solutions.Exemple
On calcule x pour que le couple (x ; 2) soit solution de l’équation 7x − 3y = 17. En remplaçant y par sa valeur 2 dans l’équation, on obtient : 7x − 3 × 2 = 17.
D’où 7x = 17 + 6. On en déduit : x = (23/7).
B - Les systèmes de deux équations à deux inconnues
1) Définition
Deux équations à deux inconnues où figurent les mêmes inconnues forment un système de deux équations. On fait précéder les deux équations d’une accolade pour signaler que l’on a un système de deux équations.
Exemple
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c’est trouver tous les couples de nombres qui vérifient simultanément les deux équations.
Exemple
2) Résolution d’un système par la méthode de substitution
Pour résoudre un système par substitution :
- on exprime une des inconnues en fonction de l’autre dans une des équations ;
- on porte cette expression dans l’autre équation afin d’obtenir une équation à une seule inconnue ;
- on résout l’équation à une seule inconnue obtenue ;
- on en déduit la valeur de l’autre inconnue et le couple solution.
Exemple
On exprime y en fonction de x dans la deuxième équation : y = 2 − 3x.
La première équation devient : 4x − 5(2 − 3x) = 9. Elle a pour seule inconnue x. 4x − 10 + 15x = 9 ; 19x = 19.
D’où : x = 1.
y = 2 − 3 × 1 = − 1. La solution du système est le couple (1 ; − 1).
3) Résolution d’un système par la méthode d’addition
Pour résoudre un système par addition :
- on multiplie une équation (ou les deux) par des nombres choisis de façon que les coefficients d’une inconnue deviennent opposés ;
- on élimine cette inconnue par addition membre à membre des deux équations;
- on en déduit la valeur de l’autre inconnue et le couple solution.
Exemple
On additionne membre à membre : 19x = 19. D’où : x = 1. 4 × 1 − 5 × y = 9. D’où : y = − 1.
La solution du système est le couple (1 ; − 1).
Méthode :
Pour déterminer la méthode de résolution la plus appropriée, on regarde les coefficients des inconnues : si l’une des inconnues figure avec le coefficient 1 (c’est-à-dire sous la forme x ou y) ou le coefficient − 1, la méthode par substitution peut être conseillée ; sinon, on utilise la méthode par addition.
Exemple
Dans la seconde équation, le coefficient de x est égal à 1. On peut résoudre ce système par substitution en exprimant x en fonction de y dans la seconde équation.
Méthode : comment résoudre un problème à l’aide d’un système d’équations ?
Réponse :
On indique ce que représentent les inconnues. On note x le prix d’un iris et y le prix d’une rose, en euros.
On traduit chaque phrase de l’énoncé par une équation :
On résout le système obtenu par addition : on multiplie les coefficients de la première équation par − 5 et ceux de la seconde par 8.
En additionnant les deux équations, on obtient : 31y = 43,40 ; d’où y = 1,4.
On en déduit x en remplaçant y par sa valeur dans la première équation : 8x = 7,2 ; d’où x = 0,90.
On répond à la question. Le prix d’un iris est 0,90 € et celui d’une rose 1,40 €.
2 - Appliquer le cours
EXERCICES
Résolution de systèmes de deux équations
1.
Parmi les couples suivants, quel est celui qui est solution de ce système ? (2 ; − 3) ; (− 2 ; − 1) ; (3 ; 2) ; (− 1 ; 1).
2. Résoudre les systèmes suivants par la méthode de votre choix.
Résolution de problèmes à l’aide d’un système
3. Le périmètre d’un triangle équilatéral de côté x est égal au quart du périmètre d’un rectangle de dimensions x et y. Le périmètre du rectangle est égal à 84 m. Calculer x et y.
4. J’ai les deux tiers de l’âge de mon père. Il y a 17 ans, l’âge de mon père (désigné par p) était le double du mien (désigné par f). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes ?
5. Un commerçant achète à un grossiste 12 chaises et 7 fauteuils. Il obtient du grossiste les rabais suivants : 10 % sur les chaises et 8 % sur les fauteuils. La facture est ainsi ramenée de 3 590 € à 3 271,60 €. Déterminer le prix initial de chaque article.
CORRIGÉ
Résolution de systèmes de deux équations
1. On peut résoudre le système, mais il peut être plus rapide de partir des réponses proposées.
2×(−2)−(−1)=−4+1=−3
− 2 − (− 1) = − 2 + 1 = − 1
Donc le couple (− 2 ; − 1) est solution du système.
2.a
On obtient x = − 2 et y = − 3. Le couple (− 2 ; − 3) est solution du système.
b. On peut résoudre le système image 14 par addition en multipliant la
seconde équation par − 2.
On obtient y = 15 et x = 8.
Le couple (8 ; 15) est solution du système.
c. On commence par écrire plus simplement chacune des équations du système.
Le couple (1,6 ; 0,4) est solution du système.
Résolution de problèmes à l’aide d’un système
3. L’énoncé se traduit par le système :
On obtient x = 7 et y = 35.
Les dimensions du rectangle sont 7 m et 35 m.
4. Soient p et f les âges il y a 17 ans.
On obtient f = 17 et p = 34. Les affirmations exactes sont B et E.
5. Soient x le prix initial d’une chaise et y le prix initial d’un fauteuil.
x = 130 et y = 290. Le prix initial d’une chaise est 130 €, celui d’un fauteuil 290 €.