Les systèmes de deux équations

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Pour traiter certains problèmes, il faut utiliser une méthode dite « algébrique » qui nécessite de savoir résoudre des systèmes d’équations.​

1 - Apprendre le cours

A - Les équations du 1er degré à deux inconnues

Une équation du 1er degré à deux inconnues x et y est une équation de la forme ax + by = c, dans laquelle a, b et c sont des nombres donnés.​

Exemple

7x − 3y = 17 est une équation à deux inconnues x et y.

Un couple de valeurs numériques est solution d’une telle équation lorsqu’on obtient une égalité en remplaçant les inconnues par ces valeurs.​

Exemple

Le couple (2 ; − 1) est une solution de l’équation 7x − 3y = 17 car :​7 × 2 − 3 × (− 1) = 14 + 3 = 17.​On dit aussi que les valeurs 2 et − 1 vérifient l’équation.​Attention à l’ordre des termes du couple ! Le premier terme donne la valeur de x, le second donne la valeur de y.
Le couple (− 1 ; 2) n’est pas solution de l’équation 7x − 3y = 17 car 7 × (− 1) − 3 × 2 ≠ 17.

Pour obtenir un couple solution d’une équation à deux inconnues, on peut fixer la valeur d’une inconnue et calculer la valeur de l’autre.​

Exemple

On calcule x pour que le couple (x ; 2) soit solution de l’équation 7x − 3y = 17. En remplaçant y par sa valeur 2 dans l’équation, on obtient : 7x − 3 × 2 = 17.

D’où 7x = 17 + 6. On en déduit : x = (23/7).

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​Une équation du premier degré à deux inconnues a une infinité de solutions.


B - Les systèmes de deux équations à deux inconnues

1) Définition

Deux équations à deux inconnues où figurent les mêmes inconnues forment un système de deux équations. On fait précéder les deux équations d’une accolade pour signaler que l’on a un système de deux équations.

Exemple

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Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c’est trouver tous les couples de nombres qui vérifient simultanément les deux équations.

Exemple

b3c16542-88d7-4878-b831-f37094d11cd0

​2) Résolution d’un système par la méthode de substitution

Pour résoudre un système par substitution :

  • on exprime une des inconnues en fonction de l’autre dans une des équations ;
  • on porte cette expression dans l’autre équation afin d’obtenir une équation à une seule inconnue ;
  • on résout l’équation à une seule inconnue obtenue ;
  • on en déduit la valeur de l’autre inconnue et le couple solution.​
Exemple

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On exprime y en fonction de x dans la deuxième équation : y = 2 − 3x.

La première équation devient : 4x − 5(2 − 3x) = 9. Elle a pour seule inconnue x. 4x − 10 + 15x = 9 ; 19x = 19.

D’où : x = 1.

y = 2 − 3 × 1 = − 1. La solution du système est le couple (1 ; − 1).

3) Résolution d’un système par la méthode d’addition​

Pour résoudre un système par addition :

  • on multiplie une équation (ou les deux) par des nombres choisis de façon que les coefficients d’une inconnue deviennent opposés ;​
  • on élimine cette inconnue par addition membre à membre des deux équations; 
  • on en déduit la valeur de l’autre inconnue et le couple solution.

Exemple

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On additionne membre à membre : 19x = 19. D’où : x = 1. 4 × 1 − 5 × y = 9. D’où : y = − 1.
La solution du système est le couple (1 ; − 1).

​Méthode : 

Pour déterminer la méthode de résolution la plus appropriée, on regarde les coefficients des inconnues : si l’une des inconnues figure avec le coefficient 1 (c’est-à-dire sous la forme x ou y) ou le coefficient − 1, la méthode par substitution peut être conseillée ; sinon, on utilise la méthode par addition.

Exemple

81caca37-610e-4aa7-9525-42616cd25c4f

Dans la seconde équation, le coefficient de x est égal à 1. On peut résoudre ce système par substitution en exprimant x en fonction de y dans la seconde équation.

​Méthode : comment résoudre un problème à l’aide d’un système d’équations ?


Énoncé : 
Roméo veut offrir un bouquet de fleurs à Juliette. La fleuriste lui propose : soit un bouquet avec 8 iris et 5 roses pour 14,20 € ; soit un bouquet de 5 iris et 7 roses pour 14,30 €. 
Quel est le prix de vente d’un iris ? Quel est celui d’une rose ?


Réponse

On indique ce que représentent les inconnues. On note x le prix d’un iris et y le prix d’une rose, en euros.

On traduit chaque phrase de l’énoncé par une équation : f02bb0df-530d-4d51-b813-f12c2178fe9e

On résout le système obtenu par addition : on multiplie les coefficients de la première équation par − 5 et ceux de la seconde par 8.

f881ca63-c4cc-4c2a-a6f4-2468faab663d

En additionnant les deux équations, on obtient : 31y = 43,40 ; d’où y = 1,4. 

On en déduit x en remplaçant y par sa valeur dans la première équation : 8x = 7,2 ; d’où x = 0,90.

On répond à la question. Le prix d’un iris est 0,90 € et celui d’une rose 1,40 €.

2 - Appliquer le cours

EXERCICES

Résolution de systèmes de deux équations

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Parmi les couples suivants, quel est celui qui est solution de ce système ? (2 ; − 3) ; (− 2 ; − 1) ; (3 ; 2) ; (− 1 ; 1).

2. Résoudre les systèmes suivants par la méthode de votre choix.

dad341c1-703c-4c59-9ba9-1ba49551f334

Résolution de problèmes à l’aide d’un système​

3. Le périmètre d’un triangle équilatéral de côté x est égal au quart du périmètre d’un rectangle de dimensions x et y. Le périmètre du rectangle est égal à 84 m. Calculer x et y.

4. J’ai les deux tiers de l’âge de mon père. Il y a 17 ans, l’âge de mon père (désigné par p) était le double du mien (désigné par f). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes ?

5b31ccc4-5099-4195-b017-d66a783f0448

5. Un commerçant achète à un grossiste 12 chaises et 7 fauteuils. Il obtient du grossiste les rabais suivants : 10 % sur les chaises et 8 % sur les fauteuils. La facture est ainsi ramenée de 3 590 € à 3 271,60 €. Déterminer le prix initial de chaque article.


CORRIGÉ

Résolution de systèmes de deux équations​

1. On peut résoudre le système, mais il peut être plus rapide de partir des réponses proposées.
2×(−2)−(−1)=−4+1=−3
− 2 − (− 1) = − 2 + 1 = − 1

Donc le couple (− 2 ; − 1) est solution du système.


2.a36b8d0f-6061-4c21-ab20-820295a8d346

7b88b84c-36c2-450f-a848-ee62439ba0f0

On obtient x = − 2 et y = − 3. Le couple (− 2 ; − 3) est solution du système.

b. On peut résoudre le système image 14 par addition en multipliant la
 seconde équation par − 2.

7fc2cb17-adb4-4243-b1de-a5d1272faa0a

On obtient y = 15 et x = 8.

Le couple (8 ; 15) est solution du système.

c. On commence par écrire plus simplement chacune des équations du système.

785ae59d-2719-4ff9-93ec-98c430263ea7

Le couple (1,6 ; 0,4) est solution du système.

Résolution de problèmes à l’aide d’un système​​

3. L’énoncé se traduit par le système : 14c6e43e-4137-4442-9000-9b2dbb26fb3b

On obtient x = 7 et y = 35.

Les dimensions du rectangle sont 7 m et 35 m.


4. Soient p et f les âges il y a 17 ans.

82098b66-ffa7-4a39-acb5-ab7c00955b6c

On obtient f = 17 et p = 34. Les affirmations exactes sont B et E.


5. Soient x le prix initial d’une chaise et y le prix initial d’un fauteuil.

f7b467b3-bf33-44c8-85ec-304265807436

x = 130 et y = 290. Le prix initial d’une chaise est 130 €, celui d’un fauteuil 290 €.