Les puissances et le calcul littéral

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Les puissances peuvent être utilisées pour faciliter l’écriture de nombres très petits ou très grands.
En algèbre, on peut remplacer les nombres par des lettres. L’écriture des expressions littérales se transforme à l’aide de règles.

1 - Les puissances

A - Définition

Le produit d’un nombre plusieurs fois par lui-même peut s’écrire sous forme d’une puissance de la façon suivante :

n étant un nombre entier supérieur à 1, an1fc5c885-856b-409c-99da-aa53ebabf837

an se lit : « a puissance n ». On dit que a est élevé à la puissance n.
Le nombre n est appelé exposant.

238034a6-3d96-493f-80ea-980b2e9ed869Par convention : ​

    

Exemples

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; l’exposant de 25 est 5.
(− 5)3 = (− 5) × (− 5) × (− 5) = − 125 ; − 125 est le cube de − 5.

0aac9506-5c6c-4dbb-a792-c08e426a733b

B - Les puissances de 10

195f0226-a373-4c90-9f3c-00d1be02cdc1

Exemples

105 = 100 000 ; 106 = 1 000 000 = 1 million ; 109 = 1 000 000 000 = 1 milliard
104 = 0,0001 = 1 dix millième
7 × 104 = 7 × 10 000 = 70 000 ; 3 × 10− 3 = 3 × 0,001 = 0,003

Dans un calcul, les puissances ont priorité sur les multiplications et les divisions.

2 - La réduction d’expressions littérales

Réduire, c’est transformer une écriture pour la rendre plus simple :

  • on additionne les termes qui contiennent les mêmes lettres avec les mêmes exposants ;​
  • en l’absence de multiplication, on supprime les parenthèses ;
  • lorsqu’elles sont précédées d’un signe +, on les supprime sans changer les signes des termes placés dans les parenthèses ;
  • lorsqu’elles sont précédées d’un signe −, on les supprime en changeant les signes des termes placés dans les parenthèses.

Exemples 

ba4a7b22-6ddb-4ee5-9a40-3609815aadeb

3 - Le développement d'un produit

Développer un produit, c’est le transformer en une somme de termes.

9f207ba3-adea-4bc5-98aa-cf0fd0b60147

A - Le produit d’un nombre par une somme

Quels que soient les nombres relatifs a, b, k, on a :

ce7826b7-cd81-412e-af52-ab7cb90aec4f

On dit que la multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction.

Exemples

d4a94620-0883-4ba8-88b6-fca937ed59d9

B - Le produit d'une somme par une somme

Quels que soient les nombres relatifs a, b, c et d, on a :

Développer A = − 8(2x − 7) et B = x(1 + 5x).
A = (− 8) × 2x + (− 8) × (− 7) = − 16x + 56
B = x × 1 + x × 5x = x + 5x2

Exemples

Développer et réduire E = (x − 3)(4x + 6).
E = x × 4x + x × 6 − 3 × 4x − 3 × 6 = 4x2 + 6x − 12x − 18 = 4x2 − 6x − 18.

4 - La factorisation

Factoriser une somme, c’est la transformer en produit.

98127015-1597-4398-9fa3-63db68dfbb23

Une des méthodes possibles pour factoriser une somme est la mise en facteur commun.

Exemples

25 + 5x = 5(5 + x)  On a mis 5 en facteur commun.
3x2 − 18x = 3x(x − 6)  On a mis 3x en facteur commun.
(2x − 5)(2x − 7) + 3(2x − 5) = (2x − 5)(2x − 7 + 3) = (2x − 5)(2x − 4).

Méthode - Comment mettre en facteur commun ? 

Énoncé
Factoriser A=(x−4)(3x+1)−(x−4)(x−6). 

Réponse
On écrit (x − 4) comme facteur commun. A=(x−4)[(3x+1)−(x−6)]
On met dans le crochet « tout ce qui reste » une fois que (x − 4) est écrit. 

On réduit l’expression entre les crochets après avoir supprimé les parenthèses.
A = (x − 4)(3x + 1 − x + 6)
A=(x−4)(2x+7)