Les fractions

Les fractions sont étudiées à partir du cycle 3 dans le sous-domaine mathématique « Nombres et calculs ».

I. Les programmes

L’apprentissage des fractions débute au CM1. D’après les repères annuels de progression du cycle 3, les apprentissages sont répartis comme cela :

– au CM1 : utiliser des fractions simples comme $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{5}{2}$ pour le partage de grandeurs ;
travailler sur des fractions inférieures ou supérieures à 1 ; utiliser régulièrement des fractions décimales, les positionner sur une droite graduée, comparer ou additionner celles de même dénominateur ; écrire les fractions sous la forme de somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à 1 ;
– au CM2 : poursuivre les apprentissages du CM1 ; étendre le registre des fractions à manipuler comme $\frac{1}{1000}$ ; écrire les fractions sous forme d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1.

II. Enseigner les fractions

A. Fractions simples

Les fractions simples (demi, tiers, quart) sont introduites en CM1 comme des outils pour traiter des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre. Elles sont notamment utilisées pour exprimer et communiquer des mesures à partir d’une unité (bande unité, segment unité).

Pour débuter l’enseignement des fractions simples, il est recommandé que l’élève découpe une bande unité en parts égales selon le dénominateur de la fraction puis qu’il reporte le nombre de parts indiqué par le numérateur.

Exemple : $\frac{2}{3}$ → on divise en 3 parts égales la bande unité et on colorie 2 parts.

Il est important que les élèves côtoient dès le début du cycle 3 des fractions inférieures et supérieures à 1 (par exemple : $\frac{5}{2}$ unités = 2 + $\frac{1}{2}$ unités).

B. Écriture fractionnaire

Pour les élèves, jusque-là, un nombre s’écrit avec des chiffres en utilisant le système de numération positionnelle, de gauche à droite.

L’écriture fractionnaire est une nouvelle convention d’écriture où les nombres ont une nouvelle signification :

– le dénominateur (« nombre du dessous ») détermine le nombre de parts selon lequel on partage l’unité ;

– le numérateur (« nombre du dessus ») détermine le nombre d’unités de comptage que l’on considère.

La verbalisation joue un rôle essentiel dans la construction du concept de fraction.

C. Repérage sur une demi-droite graduée

Les fractions simples peuvent être placées sur une demi-droite graduée. Pour cela, on partage l’unité en parts égales (selon le dénominateur de la fraction) par pliage, puis on reporte le nombre de parts indiqué par le numérateur.

Il est alors utile de savoir écrire une fraction comme somme d’un entier et d’une fraction comprise entre 0 et 1.

Exemple : Placer la fraction $\frac{6}{4}$ sur la demi-droite graduée.

D. De la fraction simple à la fraction décimale

Le travail sur les fractions simples est prolongé par une étude des fractions décimales (dixième, centième, millième). Elles correspondent à un partage de l’unité en 10, 100, 1 000, etc.

Il est important d’expliciter que « 10 centièmes » est égal à « 1 dixième », en utilisant notamment du matériel de manipulation comme le matériel multibase.

Le travail sur les relations entre les différentes unités de numération permet de faire le lien entre différentes écritures d’un même nombre décimal.

Exemple : $\frac{4978}{100}=\frac{4900}{100}+\frac{78}{100}=49+\frac{78}{100}=49+\frac{70}{100}+\frac{8}{100}=49+\frac{7}{10}+\frac{8}{100}$

III. Erreurs et obstacles fréquents

Les élèves ont tendance à inverser la fonction du dénominateur et celle du numérateur. Ils rencontrent également des difficultés à donner du sens aux fractions supérieures à 1 et ils conçoivent mal que deux fractions puissent être égales.

À SAVOIR

• Fraction simple : on partage l’unité en un petit nombre de parts.

• Fraction décimale : on partage l’unité en un nombre de parts égal à une puissance de 10.