La proportionnalité - Les échelles

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Les grandeurs proportionnelles sont au cœur de notre vie quotidienne : calculs de prix, de vitesses, d’échelles. Elles sont aussi une source presque inépuisable d’exercices et problèmes...

1 - Tableau de proportionnalité

Un tableau est un tableau de proportionnalité si les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant les nombres de la première ligne par un même nombre. 

Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple

Une commune accorde une subvention à certaines associations en appliquant le barème suivant.​

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Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le nombre 22 est son coefficient de proportionnalité. Il représente le montant de la subvention accordée pour un adhérent.

Le nombre d’adhérents et le montant de la subvention sont des grandeurs proportionnelles.

2 - La proportionnalité et la règle de trois

A - Produits en croix égaux

​Dans une égalité de la forme picture-in-text , les produits en croix sont égaux : a × d = b × c.

Si on connaît 3 des 4 nombres précédents, cette propriété permet de calculer le quatrième à l’aide d’une règle de trois.

Exemple

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B - Règle de trois

Dans un tableau de proportionnalité de 2 lignes et 2 colonnes, les produits en croix sont égaux.

Exemple : 

Un robinet débite 45 litres en 4 minutes. Calculer le nombre de litres débités en 22 minutes si le débit du robinet reste le même.

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3 - Proportionnalité ou non ? 

Avant d’écrire une règle de trois pour résoudre un problème, il faut s’assurer qu’on est dans une situation de proportionnalité. Pour cela, différentes possibilités :

  • l’énoncé indique que les grandeurs sont proportionnelles ;
  • on se pose la question : si l’une des grandeurs double, est-ce que l’autre double aussi ? Si la réponse est non, les 2 grandeurs ne sont pas proportionnelles ;​
  • on regarde si le prix unitaire (ou plus généralement la quantité unitaire) est le même dans tous les cas.


Exemple

Voici les tarifs affichés à une gare de péage d’autoroute : ville A : 65 km, 6 € ; ville B : 115 km, 9,70 € ; ville C : 228 km, 16,32 €.

Peut-on calculer le péage pour une distance de 100 km à partir de ces tarifs ?

On regarde si le prix au km est le même dans les 3 cas pour voir s’il y a proportionnalité entre le prix et la distance parcourue.

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Le prix au km n’est pas le même. Le péage n’est pas proportionnel à la distance. 

On ne peut donc pas calculer le péage pour une distance de 100 km à partir des tarifs affichés.

4 - L'échelle d'une carte ou d'un plan

Si l’échelle d’un plan est égale à picture-in-text , cela signifie que 1 cm sur le plan représente r cm dans la réalité. Lorsqu’un plan est réalisé à l’échelle picture-in-text , les dimensions sur le plan sont proportionnelles aux dimensions réelles.

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Exemple

Le plan d’une maison est à l’échelle 1/80. Cela signifie que 1 cm sur le plan représente 80 cm dans la réalité. 

Les dimensions réelles sont 80 fois plus grandes que les dimensions sur le plan.

La longueur réelle de la maison est 12 m, soit 1 200 cm. Sa longueur sur le plan est : 1 200 ÷ 80 = 15 cm.

La largeur de la maison sur le plan est 10 cm. Sa largeur réelle est 10 × 80 = 800 cm =8m.

Méthode : comment écrire une règle de trois ? 

Énoncé 

Il faut semer 1,2 kg de graines de gazon pour ensemencer une superficie de 30 m2. La masse de graines est proportionnelle à la superficie du terrain.
a. Quelle masse de gazon faut-il semer sur un terrain de 105 m2 ?
b. Quelle est la superficie d’un terrain sur lequel on a semé 2 kg de graines ? Réponse

Réponse

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