Une situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire.

I) Leçon

1) Définition

Une fonction linéaire est une fonction du type :

$f : \text{R} \longrightarrow \text{R}$

$x \longmapsto \frac{3}{2}x$

2) Lien avec la proportionnalité

On passe d’une valeur de $x$ à son image donnée par $f(x)$ en la multipliant par le nombre $a$ . Il y a donc proportionnalité entre la suite des valeurs de $x$ et la suite de leurs images, $a$ étant le coefficient de proportionnalité.

Exemple :

886c27aa-213e-4637-b623-d06a1fcdb550_w463h103

Les suites ( $-6$ ; $-3$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ ) et ( $-9$ ; $\frac{-9}{2}$ ; $0$ ; $\frac{3}{2}$ ; $3$ ) sont proportionnelles ; le coefficient qui permet de passer de la 1^re à la 2^de est $\frac{3}{2}$ .

3) Représentation graphique

Dans un système d’axes perpendiculaires gradués régulièrement à partir de 0, les couples de nombres correspondants sont représentés par des points alignés sur une droite passant par l’origine (point (0 ; 0)).

La courbe représentative d’une fonction linéaire est donc une droite d’équation $y = ax$ qui passe par l’origine du repère.

Exemple : Représentation graphique de la fonction

12e1b63d-68c1-4fd0-8672-f36baa08ec6f_w352h365

Le nombre $a$ est appelé coefficient directeur de la droite. Il caractérise la « pente » de la droite qui représente la fonction, c’est-à-dire son inclinaison par rapport à l’axe des abscisses.

Ce coefficient directeur $a$ est égal à la variation de l’ordonnée lorsque l’abscisse augmente de 1.

En effet, $f(x + 1) - f(x) =a(x + 1) - ax = a$ .

Exemple : Lorsqu’on passe du point A (2 ; 3) au point B (3; 4,5) ou du point O (0 ; 0) au point C (1 ; 1,5), l'abscisse augmente de 1 et l'ordonnée de $\frac{3}{2}$ ou (1,5) :

a est aussi l’image du nombre 1. En effet, $f (1) = a$ (cf. le point C sur le graphique exemple).

Si $a > 0$ , la fonction linéaire est croissante.

Si $a < 0$ , la fonction linéaire est décroissante.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Représenter graphiquement une fonction linéaire

La représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère (point de coordonnées (0 ; 0)). Il suffit donc de placer un autre point de cette droite de coordonnées ( $p$ ; $f(p)$ ). Voir le III) Je m'entraîne, exercice 2.

➢ Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire

Exemple : déterminer l’expression algébrique de la fonction associée à cette droite.

b3a8b2c5-e8fa-40f4-b44f-98cbc4aa1dd3_w317h187

2b2a3e37-bd46-4bb0-ab4d-05e49ccb21ef_w616h158

Remarque : on peut aussi répondre à cette question en remarquant que lorsque $x$ varie 1, $y$ varie de - $\frac{1}{2}$ (donc $a = -\frac{1}{2}$ ).

III) Je m'entraîne

1. Parmi ces fonctions, lesquelles sont des fonctions linéaires ?

$f : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \frac{1}{x}$

$g : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \frac{x}{3}$

$h : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \pi x$

$i : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto x^2$

2. Pour celles qui sont des fonctions linéaires, tracer leur représentation graphique.

3. a. Tracer la représentation graphique de la fonction linéaire $f$ telle que $f(2) = 5$ .
b. Donner son expression algébrique.

Une situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire.

I) Leçon

1) Définition

Une fonction linéaire est une fonction du type :

$f : \text{R} \longrightarrow \text{R}$

$x \longmapsto \frac{3}{2}x$

2) Lien avec la proportionnalité

Exemple :

886c27aa-213e-4637-b623-d06a1fcdb550_w463h103

3) Représentation graphique

La courbe représentative d’une fonction linéaire est donc une droite d’équation $y = ax$ qui passe par l’origine du repère.

Exemple : Représentation graphique de la fonction

12e1b63d-68c1-4fd0-8672-f36baa08ec6f_w352h365

Ce coefficient directeur $a$ est égal à la variation de l’ordonnée lorsque l’abscisse augmente de 1.

En effet, $f(x + 1) - f(x) =a(x + 1) - ax = a$ .

Exemple : Lorsqu’on passe du point A (2 ; 3) au point B (3; 4,5) ou du point O (0 ; 0) au point C (1 ; 1,5), l'abscisse augmente de 1 et l'ordonnée de $\frac{3}{2}$ ou (1,5) :

a est aussi l’image du nombre 1. En effet, $f (1) = a$ (cf. le point C sur le graphique exemple).

Si $a > 0$ , la fonction linéaire est croissante.

Si $a < 0$ , la fonction linéaire est décroissante.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Représenter graphiquement une fonction linéaire

➢ Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire

Exemple : déterminer l’expression algébrique de la fonction associée à cette droite.

b3a8b2c5-e8fa-40f4-b44f-98cbc4aa1dd3_w317h187

2b2a3e37-bd46-4bb0-ab4d-05e49ccb21ef_w616h158

Remarque : on peut aussi répondre à cette question en remarquant que lorsque $x$ varie 1, $y$ varie de - $\frac{1}{2}$ (donc $a = -\frac{1}{2}$ ).

III) Je m'entraîne

1. Parmi ces fonctions, lesquelles sont des fonctions linéaires ?

$f : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \frac{1}{x}$

$g : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \frac{x}{3}$

$h : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto \pi x$

$i : \text{R} \longrightarrow \text{R}$
$x \longmapsto x^2$

2. Pour celles qui sont des fonctions linéaires, tracer leur représentation graphique.

3. a. Tracer la représentation graphique de la fonction linéaire $f$ telle que $f(2) = 5$ .
b. Donner son expression algébrique.

Fonction linéaire

I) Leçon

1) Définition

2) Lien avec la proportionnalité

3) Représentation graphique

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Représenter graphiquement une fonction linéaire

➢ Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire

III) Je m'entraîne

Fonction linéaire

I) Leçon

1) Définition

2) Lien avec la proportionnalité

3) Représentation graphique

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Représenter graphiquement une fonction linéaire

➢ Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire

III) Je m'entraîne