Dénombrement

La question « Combien y a-t-il de... ? » a marqué l’évolution de toute une branche des mathématiques.

I) Leçon

1) Qu’est-ce que dénombrer ?

Dénombrer consiste à utiliser un procédé systématique pour recenser tous les éléments d’un ensemble et à en exprimer la quantité par un nombre (on parle du cardinal de l’ensemble).

2) Les méthodes de dénombrement

Les deux méthodes de dénombrement les plus fréquemment utilisées sont :

• le comptage : comptage de un en un ou comptage par unités de numération (unités, dizaines, centaines...) après avoir groupé les éléments de l’ensemble. Mais il est souvent difficile d’identifier tous les éléments de l’ensemble. Pour faciliter ce travail, on peut, dans de nombreux cas, utiliser un tableau à double entrée ou un arbre de choix ;
• le calcul : on peut par exemple décomposer l’ensemble à dénombrer en la réunion d’ensembles qui n’ont pas d’éléments en commun. On applique alors la formule : $n(E) = n(A) + n(B) + n(C)$ où $n(X)$ désigne le nombre d’éléments de l’ensemble $X$.

Les méthodes de dénombrement sont notamment utiles pour résoudre des problèmes de probabilité dans lesquels on doit, pour une expérience, établir le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables à un événement déterminé.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Utiliser un tableau à double entrée

Exemple : un restaurant propose la carte suivante dans laquelle on peut choisir un plat et un dessert. 

Plats : Gigot d'agneau - Daurade - Steak haché

Desserts : Flan aux œufs - Tiramisu - Panacotta - Île flottante

a. Combien de repas différents sont-ils possibles ? 

b. Combien de repas différents avec un plat de viande sont-ils possibles ?

Remarques :

• Dans cet exemple, la réponse aux questions n’impose pas le remplissage des cases (plat, dessert), mais seulement leur identification.
• Lorsque, comme ici, il y a peu de cases, un dénombrement par comptage de un en un est possible. Dans d’autres cas, un calcul est préférable, voire nécessaire.

➢ Utiliser un arbre de choix

Exemple : en se déplaçant selon les directions indiquées, combien y a-t-il de façons différentes d’aller du sommet A au sommet G ?

➢ Utiliser la décomposition de l’ensemble en sous-ensembles qui n’ont pas d’éléments en commun

Après avoir décomposé l’ensemble en sous-ensembles qui n’ont pas d’éléments en commun, on additionne les nombres d’éléments de chaque sous-ensemble.

III) Je m'entraîne

1. Combien de nombres supérieurs ou égaux à 10 et inférieurs ou égaux à 99 peut-on écrire en utilisant les chiffres 2, 3, 4, 5, 6 et 7 ?

2. Combien de nombres écrits avec quatre chiffres ne comportent ni le chiffre 0, ni le chiffre 9 dans leur écriture ?

3. Déterminer le nombre d’entiers naturels qui vérifient les conditions suivantes :

• ils sont formés d’au maximum cinq chiffres qui ne sont que des 1 et/ou 0 ;
• ils sont divisibles par 2 et par 3.