Multiplication, division euclidienne

Signaler

La multiplication et la division sont deux opérations liées l’une à l’autre, la division pouvantêtre définie à partir de la multiplication.

I) Leçon

1) Définitions

La multiplication associe, à deux nombres entiers naturels aa et bb, leur produit a×ba \times b (on l’écrit aussi abab). aa et bb sont appelés les facteurs du produit.

Exemple : 36 est le produit des nombres 9 et 4 (9 × 4 = 36).

La division euclidienne associe, à deux nombres entiers naturels aa et bb (avec b0b \ne 0), deux nombres entiers naturels qq et rr tels que a=b×q+ra = b \times q + r avec r<br \lt b.

qq est le quotient et rr le reste de la division euclidienne de aa par bb. aa est appelé le dividende et bb le diviseur. Lorsque r=0r = 0, on écrit a:b=qa : b = q.

Exemple : Dans la division euclidienne de 9 par 4, l’entier 2 est le quotient et 1 est le reste (car 9 = 4 × 2 + 1). 9 est le dividende et 4 le diviseur.

Relation entre la multiplication et la division euclidienne :

aa et bb sont deux nombres entiers naturels avec b0b \ne 0.

qq est le quotient de la division euclidienne de aa par bb est équivalent à bqabbq \leq a \leq b (q+1q + 1).

Exemple : 4×29<4×34 \times 2 \leq 9 \lt 4 \times 3 (22 est le quotient de la division euclidienne de 99 par 44).

2) Les propriétés de la multiplication

5fd04f13-c56d-44ea-9ff4-50a9c15f582b_w558h179

3) Les propriétés de la division euclidienne

6830e0b4-9890-44f1-8596-d30375cfaf07_w620h136

72df0502-b61b-46ef-a86e-54b2b826cb9f_w620h110

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Calculer un produit mentalement ou en ligne

Exemple : calculer en ligne (sans poser d’opération en colonne) 45 × 12, en justifiant les calculs.

88aa4089-b955-49f3-a7ed-856a067ef405_w625h186

➢ Calculer un quotient et un reste mentalement ou en ligne

Exemple : calculer en ligne (sans poser d’opération) le quotient et le reste de la division euclidienne de 143 par 5, en justifiant les calculs.

46e15ecb-2e97-43c6-95be-4f4e9357855f_w630h262

III) Je m'entraîne

Calculer en ligne, en précisant la suite des calculs et en indiquant les propriétés des opérations utilisées (utiliser au moins deux méthodes pour chaque calcul) :

a. 35×635 × 6 et 25×6×425 × 6 × 4.
b. Division euclidienne de 116 par 4 et de 170 par 25.