Comment calculer, démontrer en géométrie ? La connaissance des différentes propriétés abordées dans les fiches précédentes est évidemment nécessaire mais pas suffisante. Deux stratégies sont proposées ici afin de faciliter la découverte des raisonnements nécessaires pour calculer et démontrer en géométrie.
I) La leçon
1) Pourquoi démontrer en géométrie ?
En géométrie, au concours, on ne peut pas déterminer des mesures (d’angles, de longueurs...) en les prenant sur une figure. De même, on ne peut pas prouver que des droites sont perpendiculaires ou sont parallèles, qu’un quadrilatère est un parallélogramme... en utilisant des instruments de géométrie.
Pour déterminer des mesures ou prouver des propriétés de géométrie, on doit raisonner en s’appuyant sur des propriétés de géométrie et des formules : c’est ce qu’on appelle démontrer.
L’ensemble des propriétés de géométrie et des formules à connaitre figurent dans ces fiches et les principales sont récapitulées en annexe.
2) Comment démontrer en géométrie ?
On peut mettre en place deux stratégies pour calculer, démontrer géométrie : le chainage avant et le chainage arrière.
a. Le chainage avant
Cette stratégie consiste à tirer des conséquences de certaines données puis des conséquences de ces conséquences avec d’autres données... Pour cela, on utilise des propriétés et des formules. Il est important de connaitre les conditions d’utilisation de ces propriétés (qui sont systématiquement explicitées lors de la présentation de ces propriétés dans les fiches) : elles indiquent les propriétés qui peuvent être utilisées lors du chainage avant.
Mais, pour la plupart des problèmes, on peut tirer de très nombreuses conséquences dont toutes ne sont pas forcément utiles pour atteindre l’objectif visé. De plus, cette stratégie ne prend pas en compte le but à atteindre. Cela signifie qu’elle ne permet que très rarement d’atteindre seule le but de l’énoncé. Il faut la « coupler » avec le chainage arrière.
b. Le chainage arrière
Cette stratégie consiste à partir du but à atteindre et à identifier les propriétés, formules qui peuvent permettre de l’atteindre. Il faut alors choisir l’une d’entre elles. Pour cela, pour chaque propriété identifiée, on regarde si on a ses conditions d’utilisation ou si on pense qu’on peut assez facilement les démontrer. Dans ce dernier cas, on recommence le même raisonnement : quelle(s) propriété(s), formule(s) permet(tent) d’obtenir ces conditions d’utilisation ?
II) Ce qu'il faut savoir faire
Élaborer une démonstration en géométrie
Exemple : en utilisant les informations portées sur le dessin ci-dessous, démontrer que les droites (AB) et (FE) sont parallèles. Les mesures sont exprimées dans la même unité.
III) Je m'entraine
En utilisant les informations portées sur ces figures, démontrer que :
a. (BK) // (AE)
b. (DC) ⊥ (CA)
