Trigonométrie : Calculer un angle

« Angle » désigne à la fois un objet (appelé également secteur angulaire) et la grandeur associée, définie par le fait que deux angles sont égaux si on peut superposer leur sommet et leurs côtés. On peut donc aussi bien écrire « calculer un angle » (dans ce cas, « angle » est un objet) et « calculer la valeur d’un angle » (dans ce cas « angle » est une grandeur).

I) La leçon

1) Propriétés et définitions

Dans un triangle rectangle où $\widehat{\text{B}}$ est un angle aigu du triangle,

2) Calculer un angle

Connaissant la valeur du sinus, du cosinus ou de la tangente d’un angle aigu, il est possible de calculer cet angle. Pour cela, on utilise les touche Arcsin (ou sin^-1) ou Arccos (ou cos^-1) ou Arctan (ou tan^-1) de la calculatrice.

Exemple : On sait que cos $\widehat{\text{B}}$ = 0,87. Trouver un arrondi à 1° près de $\widehat{\text{B}}$.
On tape sur la calculatrice Arcos (ou cos-1)¹ puis 0,87 et on obtient 29,54136050.
Donc la valeur approchée à 1° près de la mesure de $\widehat{\text{B}}$ est 30° car le chiffre des dixièmes (5) est supérieur ou égal à 5.

Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle permettent de calculer un angle aigu d’un triangle rectangle.

Condition : connaitre la longueur de deux côtés du triangle rectangle dont on cherche la valeur d’un des angles aigus.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Calculer la valeur d’un angle connaissant son cosinus, son sinus ou sa tangente

Voir exemple ci-dessus.

Calculer la valeur d’un angle en utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Exemple : en utilisant les informations portées sur le dessin ci-dessous, calculer une valeur approchée de $\widehat{\text{P}}$ à 1 degré près.

Travail préalable : on s’assure qu’on a les conditions d’utilisation des relations trigonométriques dans le triangle rectangle. C’est le cas ici :
– on dispose d’un triangle rectangle dont on cherche la mesure d’un angle aigu ;
– on connait la longueur de deux côtés de ce triangle (PQ et RQ).

On choisit la formule trigonométrique à utiliser : on connait les longueurs des côté PQ et RQ qui sont respectivement le côté adjacent et le côté opposé à l’angle cherché. Il faut donc utiliser la tangente de l’angle cherché.

Attention : il ne faut pas utiliser une valeur approchée du rapport des longueurs connues pour calculer la mesure de l’angle. Ici, il faut taper Arcos 1,8 : 2,9 ou cos^-1 1,8 : 2,9.

III) Je m'entraine

1. Quand c’est possible, calculer un arrondi à 0,1 degré près de l’angle $\widehat{\text{A}}$, dans les cas suivants :

a . sin $\widehat{\text{A}}$ = 0,578 ; b. tan $\widehat{\text{A}}$ = 3, 583 ; c. cos $\widehat{\text{A}}$ = 1, 985.

2. Quand c’est possible, calculer un arrondi à 1 degré près de l’angle $\widehat{\text{S}}$. Les mesures sont exprimées dans la même unité.