Translation, rotation

La translation et la rotation sont deux autres transformations particulières du plan.​

I) La leçon

1) Translation

Étant donnés deux points A et B, on appelle translation dont l’image de A est B l’application du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M′ tel que ABM′M est un parallélogramme (attention à l’ordre des sommets du parallélogramme).

L’image d’une figure (F) par une translation est l’ensemble (F′) de toutes les images des points de (F) par cette symétrie.
Matériellement, on passe de (F) à (F′) en faisant glisser (F) sans la faire tourner.

Propriétés :
• La translation conserve l’alignement, les longueurs, les milieux, les angles, le parallélisme.
• L’image d’une droite est une droite parallèle.
• L’image d’un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est l’image du centre.

2) Rotation

Étant donnés un point et une figure géométrique (un segment par exemple), deux façons permettent de faire tourner cette figure autour de ce point suivant un angle donné :
– le sens anti-horaire ou sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct ou sens positif ;

– le sens horaire ou sens des aiguilles d’une montre, appelé sens indirect ou sens négatif.

Étant donnés un angle $\theta$ (de sens direct ou indirect) et un point C, l’image du point M par la rotation de centre C et d’angle $\theta$ est :

– le point M′ tel que CM′ = CM et l’angle $(\widehat{\text{CM},\text{CM'}})=\theta$ (de sens direct ou indirect), si M est différent de C ;

– le point M lui-même si M est en C.

On note cet angle$(\widehat{\text{CM},\text{CM'}})$ et non $(\widehat{\text{MCM'}})$ pour indiquer le sens de rotation.

​La rotation de centre C et d’angle $\theta$ est notée R (C, $\theta$).
Conséquence : le centre de rotation est sur la médiatrice du segment formé par un point et son image.

L’image d’une figure (F) par une rotation est l’ensemble (F′) de toutes les images des points de (F) par cette rotation.
Exemple : La figure (2) est l’image de la figure (1) par la rotation de centre C et d’angle indirect de 45°.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Reconnaitre si deux figures sont images l’une de l’autre par une translation, une rotation

Tracer l’image d’une figure par une translation, une rotation

Pour cela, on trace l’image des points caractéristiques de la figure (sommet pour les polygones, centre des cercles...) et on complète ensuite la figure en utilisant les propriétés de conservation citées ci-dessus.

III) Je m'entraine

1. Répondez aux questions suivantes :
a. Quelle est la transformation par laquelle l’image du triangle AIH est le triangle HLD ?

b. Quelle est la transformation par laquelle l’image du triangle AIH est le triangle EJM ?

c. Quelle est la transformation par laquelle l’image du triangle HMI est le triangle HLD ?

d. Quelle est la transformation par laquelle l’image C du triangle AIE est le triangle BJF ?

e. Quelle est l’image du triangle BJF par la rotation de centre M et d’angle +90° ?

f. Quelle est l’image du triangle HIM par la translation qui transforme H en D ?

2. Tracer un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 3,5 cm et AC = 3 cm.
a. Tracer en rouge l’image de ce triangle par la translation qui transforme A en C.

b. Tracer en vert l’image du triangle ABC par la rotation de centre C et d’angle −45°.