Suites de nombres proportionnelles

Reconnaitre et exploiter des suites de nombres proportionnelles nécessite de connaitre la définition et les propriétés.

I) Leçon

1) Définition

Les nombres considérés sont des nombres réels.

Deux suites de nombres ($x_1$ ; $x_2$ ; ... ; $x_n$) et ($y_1$ ; $y_2$ ; ... ; $y_n$), ayant le même nombre de termes sont proportionnelles si on peut obtenir chaque terme de la 2^de suite en multipliant un terme de la 1^re suite par un même nombre.

On utilise souvent un tableau, dit « tableau de proportionnalité », pour les présenter.

$a$ est le coefficient de proportionnalité entre la 1^re et la 2^de. $\frac{1}{a}$ est celui entre la 2^de suite et la 1^re.

On dit que $y_1$ ; $y_2$... sont les images respectivement de $x_1$ ; $x_2$ ... dans la relation de proportionnalité.

Des suites proportionnelles peuvent être obtenues en considérant les valeurs prises par deux grandeurs proportionnelles ou à partir d'une fonction linéaire.

2) Propriétés

A) Propriété additive de linéarité

Si deux suites de nombres sont proportionnelles, à la somme de deux nombres de la 1^re suite est associée la somme de leurs images dans la 2^de.

B) Propriété multiplicative de linéarité

Si deux suites de nombres sont proportionnelles, au produit d’un des termes de la 1^re suite par un nombre est associé le produit de l’image de ce terme par ce même nombre dans la 2^de.

$k$ est appelé rapport de linéarité.

C) Propriété des rapports égaux

Si deux suites de nombres sont proportionnelles, les rapports entre l’image de chaque nombre et ce nombre sont égaux. Ils sont égaux au coefficient de proportionnalité.

$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \ldots = \frac{y_n}{x_n} = a$

D) Propriété du « produit en croix »

Si deux suites de nombres sont proportionnelles, on a les égalités $x_i \times y_j = x_j \times y_i$.

Exemple : Les produits sont obtenus en formant des « produits en croix ».

$4 \times 15 = 6 \times 10$

$10 \times22,5 = 15 \times 15$

$4 \times \frac{3 \pi}{2} = 6 \times \pi$

E) Propriété graphique

Si deux suites de nombres ($x_1$ ; $x_2$ ; ... ; $x_n$) et ($y_1$, ; $y_2$ ; ... ; $y_n$) sont proportionnelles, dans un système d’axes gradués régulièrement à partir de 0 (repère du plan), les points de coordonnées ($x_1$, $y_1$), ($x_2$, $y_2$), ..., ($x_n$, $y_n$) sont alignés sur une droite qui passe par l’origine des axes.

Cette propriété résulte du lien entre suites de nombres proportionnelles et fonction linéaire.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Reconnaitre si deux suites de nombres sont ou non proportionnelles

Pour identifier que deux suites de nombres ne sont pas proportionnelles, soit on montre que la fonction qui permet de passer de l’une à l’autre n’est pas une fonction linéaire de la forme $x \rightarrow ax$ , soit on trouve un contre-exemple qui prouve que la définition ou que l’une des propriétés n’est pas vérifiée.

Pour s’assurer que deux suites de nombres sont proportionnelles, deux méthodes sont possibles :

• on vérifie que tous les couples de valeurs ($x_i$ ; $y_i$) vérifient la définition. Pour cela, on peut soit calculer un rapport image/nombre et vérifier qu’il permet d’obtenir tous les couples, soit calculer tous les rapports image/nombre et vérifier qu’ils sont tous égaux ;
• on utilise la propriété graphique.

➢ Compléter deux suites pour qu’elles soient proportionnelles

On utilise la définition ou on utilise l’une ou l’autre des propriétés.

III) Je m'entraîne

1. Dans chaque cas, les suites de nombres S₁ et S₂ sont-elles proportionnelles ?

a.

b.

2. Compléter les suites de nombres pour qu’elles soient proportionnelles.

a.

b.