Nombres rationnels, fractions

Les nombres rationnels permettent d’apporter une solution à toutes les équations du type bx = a, où a et b sont des nombres entiers relatifs (donc positifs ou négatifs), avec $b \ne 0$.

I) Leçon

1) Nombre rationnel

Un nombre rationnel est la solution d’une équation du type $bx = a$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers relatifs, avec $b \ne 0$.

Ce nombre rationnel peut être exprimé par la fraction.

Exemple : $4x = 3$ a pour solution $\frac{3}{4}$ qui est donc l’écriture d’un nombre rationnel.

$4x = 8$ a pour solution $\frac{8}{4}$ qui est donc l’écriture d’un nombre rationnel qui s’écrit aussi 2 (et qui est donc aussi un nombre entier naturel).

2) Fractions égales, fraction irréductible

Quels que soient les nombres entiers relatifs $a$, $b$ et $k$ tels que $b \ne 0$ et $k \ne 0$, $\frac{a}{b} = \frac{ak}{bk} = \frac{a~:~k}{b~:~k}$

Exemple : Les fractions $\frac{12}{8}$, $\frac{36}{24}$, $\frac{3}{2}$ sont égales. Elles désignent le même nombre rationnel : $\frac{36}{24} = \frac{12 \times 3}{8 \times 3}$ et $\frac{3}{2} = \frac{12~:~4}{8~:~4}$.

Propriété « du produit en croix » : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (avec $b\ne0$ et $d\ne0$) équivaut à $ad = bc$.

Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son numérateur par un même nombre entier relatif supérieur à 1.

Une fraction qui ne peut plus être simplifiée est appelée fraction irréductible.

Exemple : $\frac{3}{2}$ est la fraction irréductible égale à $\frac{36}{24}$.

3) Partie entière d’une fraction

Toute fraction peut être décomposée en somme d’un nombre entier et d’une fraction comprise entre 0 et 1. Ce nombre entier s’appelle la partie entière de la fraction.

Exemple : $\frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}$, $3$ est la partie entière de $\frac{17}{5}$ ; $- \frac{17}{5} = -4 + \frac{3}{5}$, $-4$ est la partie entière de $- \frac{17}{5}$.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Obtenir une fraction irréductible égale à une fraction donnée

Exemple : trouver une fraction irréductible égale à $\frac{216}{204}$.

Remarque : une autre méthode consiste à simplifier progressivement la fraction en utilisant les premiers nombres premiers. Mais cette méthode peut s’avérer longue.

➢ Trouver la partie entière d’une fraction

Exemple : trouver la partie entière de $\frac{124}{7}$.

Remarque : avec une fraction négative, le calcul est plus complexe : $- \frac{124}{7} = - 18 + \frac{2}{7}$.

➢ Réduire deux fractions au même dénominateur

Exemple : trouver des fractions égales à $\frac{19}{72}$ et à $\frac{23}{75}$ qui ont le même dénominateur.

III) Je m'entraîne

1. Trouver la fraction irréductible égale à $\frac{132}{120}$.

2. Décomposer $\frac{100}{13}$ en faisant apparaître leur partie entière.

3. Trouver des fractions égales à $\frac{14}{75}$ et $\frac{28}{45}$ et qui ont le même dénominateur.