L’étude de la convexité d’une fonction permet d’apporter des précisions sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
I. Convexité d’une fonction
Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est dite convexe si la courbe Cf représentant f est située au-dessous de chacune de ses cordes.
À noter
On appelle corde de la courbe C f représentant f tout segment AB où A et B sont deux points de C f.
Remarque : Une fonction f est dite concave sur un intervalle I si −f est convexe sur I. Attention, si f n’est pas convexe sur I alors f n’est pas forcément concave sur I.
Définitions équivalentes : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et soit C sa courbe représentative.
f est convexe sur I si et seulement si C est au-dessus de ses tangentes.
f est convexe sur I si et seulement si f′ est croissante sur I.
II. Dérivée seconde d’une fonction
Définition : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et f′ sa dérivée sur I. Si f′ est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f sur I, la dérivée de f′ sur I. On note cette dérivée seconde f″.
Propriété : f est convexe sur un intervalle I si et seulement si f″ est positive sur I.
III. Point d’inflexion d’une courbe
Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On appelle point d’inflexion de C, tout point de C en lequel f change de convexité (elle passe de convexe à concave ou inversement).
Théorèmes :
Soit a un réel de l’ensemble de définition de f. Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, le point Ia ; fa est un point d’inflexion de C si et seulement si f″ s’annule et change de signe en a.
Si f est dérivable sur I, le point Ia ; fa est un point d’inflexion de C si et seulement si C traverse sa tangente en I.
Méthodes
1) Étudier la convexité d’une fonction
On considère la fonction f définie sur ℝ par fx=3x2−4x+1.
Étudier la convexité de f sur ℝ.
Conseils
Étudiez la dérivabilité de f et f′ sur ℝ et le signe de f″.
Solution
f est une fonction polynôme donc f est deux fois dérivable sur ℝ.
f″x>0 pour tout x réel, la fonction f est donc convexe sur ℝ.
2) Déterminer des points d’inflexion
Soit f la fonction définie sur ℝ par fx=2xx2+2 et soit C sa courbe représentative. Étudier l’existence éventuelle de points d’inflexion.
Conseils
Pour déterminer les éventuels points d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction f dérivable deux fois sur un intervalle I, il suffit de :
Étape 1 calculer f″x ;
Étape 2 résoudre l’équation f″x=0 ;
Étape 3 étudier le signe de f″x et déterminer si f″ change de signe en chacune des éventuelles solutions de l’équation f″x=0.
Solution
Étape 1 f est deux fois dérivable sur ℝ. Pour tout réel x :
et
=\frac{−4x(x^2+2)^2−(−2x^2+4)(2\times2x(x^2+2))}{(x^2+2)^4}
=\frac{4x(x^2−6)}{(x^2+2)^3}
Étape 2 f″x=0 équivaut à : 4xx2−6=0, soit x=0 ou x2=6.
L’équation f″x=0 a donc trois solutions : 0 ; 6 et − 6.
Étape 3 f″x s’annule et change de signe en −6, en 0 et en 6. C admet donc trois points d’inflexion dont les abscisses sont −6, 0 et 6.
