Dérivée de la composée de deux fonctions

Écrire une fonction comme composée de fonctions usuelles permet de simplifier certains calculs, notamment celui des dérivées.

I. Composée de deux fonctions

Définition : Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J telles que, pour tout x de I, ux∈J. On appelle composée de u suivie de v la fonction notée v∘u et définie par : pour tout x de I, v∘ux=vux.

v∘u se lit « v rond u ».

Remarque : Cette définition peut être mémorisée à l’aide du schéma suivant :

À noter

Dans la notation v∘u, il est important de noter que c’est la fonction u qui opère en premier, ce qui justifie l’appellation « u suivie de v ».

Exemple : Soient u et v les fonctions définies sur ℝ par ux=x2+1 et vx=2x−4. La fonction v∘u est définie sur ℝ par

v∘ux=vx2+1=2x2+1−4, soit v∘ux=2x2−2.

II. Dérivée d’une composée de deux fonctions

Théorème : Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J telles que, pour tout x de I, ux est dans J.

Soient x0 un élément de I et y0=ux0 un élément de J.

Si la fonction u est dérivable en x0 et si v est dérivable en y0=ux0, alors la fonction v∘u est dérivable en x0 et v∘u′x0=v′ux0×u′x0.

À noter

v∘u est dérivable sur I si v∘u est dérivable en tout point de I.

Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=(2x+1)5.

f est la composée de u suivie de v avec u(x)=2x+1 et v(x)=x5.

On a donc f=v∘u.

u et v sont dérivables sur ℝ et, pour tout x réel, v′x=5x4 et u′(x)=2.

f est donc dérivable sur ℝ et on a :

f′x=v∘u′x=v′ux×u′x=52x+14×2=102x+14.

Conseils

Commencez par déterminer l’ensemble de définition de la composée, c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles cette composée est définie. Déterminez ensuite l’expression de cette composée.

Solution

La fonction v∘u est définie si, pour tout x de l’ensemble de définition de u, u(x) est bien dans l’ensemble de définition de v. Ici, u(x) est définie sur ℝ car c’est un polynôme du second degré. v(x) est définie sur 0 ; + ∞ Donc (v∘u)(x) est définie si et seulement si u(x) appartient à 0 ; + ∞.

Nous sommes donc amenés à résoudre l’inéquation ux≥0.

− ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞.

Pour tout x de D, on a v∘u x=vux=ux=x2−4.

u∘v(x) est définie si x appartient à ℝ+ et si vx appartient à l’ensemble de définition de u, soit ℝ. Ainsi u∘v est définie sur ℝ+. On a alors u∘vx=uvx=vx2−4=x2−4=x−4.

On s’aperçoit que v∘u≠u∘v.

À noter

La composée de fonctions n’est pas commutative, c’est-à-dire, en général, v∘u≠u∘v.

2) Déterminer la dérivée d’une composée

Déterminer la dérivée de la fonction f définie par f:x↦x2−3x+5.

Conseils

Écrivez f sous la forme f=v∘u. Cherchez ensuite l’ensemble Df sur lequel f est dérivable et appliquez la formule donnant la dérivée de v∘u.

Solution

fx est définie si et seulement si x2−3x+5≥0. Le discriminant Δ de x2−3x+5 est Δ=−11. Δ<0 donc x2−3x+5 est strictement positif, f est donc dérivable sur ℝ.

On a f=v∘u avec ux=x2−3x+5 et vx=x.

Pour tout x réel, f′x=v′ux×u′x. Ici, u′x=2x−3 et

v′x=12x, d’où f′x=12ux ×u′x=12x2−3x+5×2x−3.