On se place dans un repère orthonormé O ; i→, j→, k→ de l’espace et on caractérise une droite par un système d’équations.
I. Définition d’une représentation paramétrique
Définition On considère une droite D passant par A(xA ; yA ; zA) et dont un vecteur directeur est u→(α ; β ; γ).
Mx ; y ; z∈D⇔AM→ et u→ sont colinéaires⇔ Il existe t∈ℝ tel que AM→=tu→
x−xA=tαy−yA=tβz−zA=tγ avec t∈ℝ⇔x =xA+tαy=yA+tβz=zA+tγ
Ce système est une représentation paramétrique de la droite D caractérisée par la donnée du point A et du vecteur u→.
On écrit en abrégé DA ; u→. On dit aussi que A ; u→ est un repère de D.
À noter
On peut choisir pour D un autre repère.
Lorsqu’aucune coordonnée de u→ n’est nulle, une représentation paramétrique de D est équivalente aux équations : x−xAα=y−yAβ=z−zAγ.
II. Droite définie par l’intersection de deux plans
En résolvant le système formé par les équations cartésiennes de deux plans sécants, on obtient une représentation paramétrique de la droite d’intersection.
En effet, le système {ax+by+cz+d=0a′x+b′y+c′z+d′=0 caractérise la droite d’intersection.
Si on choisit l’une des trois inconnues comme paramètre, par exemple en posant z=t si cela est possible, on obtient le système suivant :
ax+by=−d−cta′x+b′y=−d′−c′tz=t.
En résolvant les deux premières équations, on exprime x et y en fonction de t et on obtient une représentation paramétrique de D.
À noter
Bien entendu, on peut choisir x ou y comme paramètre.
Méthodes
1) Écrire des équations paramétriques d’une droite
Conseils
Donnez un vecteur directeur de la droite AB, puis traduisez l’appartenance d’un point M à la droite (AB) en termes de colinéarité de vecteurs.
On obtient une autre représentation de D, en choisissant le point B au lieu du point A.
Solution
On représente D avec A et AB→. Un vecteur directeur de la droite (AB) est AB→. Ses coordonnées sont (−2 ; 3 ; 2).
D⇔ il existe t∈ℝ tel que AM→=tAB→.
x−1=−2ty+2=3tz−1=2t avec t∈ℝ⇔x=1−2ty=−2+3tz=1+2t avec t∈ℝ.
On représente maintenant D avec B et AB→.
D⇔ il existe t′∈ℝ tel que BM→=t′AB→.
x+1=−2t′y−1=3t′z−3=2t′ avec t′∈ℝ⇔x=−1−2t′y=1+3t′z=3+2t′ avec t′∈ℝ.
2) Déterminer si un point appartient à une droite
méthode 1 ci-dessus : X5 ; − 8 ; −3, Y0,−12, 1.
Conseils
Choisissez d’abord une représentation paramétrique de la droite AB.
Solution
Choisissons la représentation DA, AB→. Pour le point X, on cherche t de telle sorte que 5=1−2t−8=−2+3t−3=1+2t. La valeur t=−2 convient, donc X∈D.
Pour le point Y, le système 0=1−2t−12=−2+3t1=1+2t n’a pas de solution car la troisième équation fournit t=0 alors que 0 n’est pas solution de la première équation. Donc Y∉D.