Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

La définition du produit scalaire donnée dans le plan peut être étendue à l’espace. On retrouve alors les mêmes propriétés que dans le plan.

I. Définition

Soit u→ et v→ deux vecteurs de l’espace.

Si u→=0→ ou v→=0→, alors u→⋅v→=0.

Si u→≠0→ et v→≠0→, alors :

u→⋅v→= u→ × v→ ×cosu→ ; v→

où l’angle (u→ ; v→) est défini comme en géométrie plane.

À noter

Comme dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace est un nombre réel.

II. Propriétés

Soit u→, v→ et w→ des vecteurs de l’espace, et α un nombre réel.

Commutativité et distributivité

 u→⋅v→=v→⋅u→

 u→⋅v→+w→=u→⋅v→+u→⋅w→

 αu→⋅v→=αu→⋅v→=u→⋅αv→

 u→+v→⋅w→=u→⋅w→+v→⋅w→

Norme

 u→⋅u→= u→ 2, noté aussi u→2 (carré scalaire du vecteur u→)

   u→+v→  2= u→ 2+2u→⋅v→+ v→ 2

   u→−v→  2= u→ 2−2u→⋅v→+ v→ 2

\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v}

$= \frac{1}{2} \big(( ~\overrightarrow{u} ~)^{2} + ( ~\overrightarrow{v} ~)^{2} - ( ~\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ~)^{2}\big)$

$= \frac{1}{2}\big(( ~\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ~)^{2} - ( ~\overrightarrow{u} ~)^{2} - ( ~\overrightarrow{v} ~)^{2}\big)$

Orthogonalité

u→⋅v→=0⇔u→=0→ ou v→=0→ ou u→ ⊥ v→

III. Expression analytique du produit scalaire

i→, j→, k→).

u→(x ; y ; z) et v→(x′ ; y′ ; z′) deux vecteurs de l’espace.

 u→⋅v→=xx′+yy′+zz′

   u→ =x2+y2+z2

 AB= AB→ =xB−xA2+yB−yA2+zB−zA2

  (avec u→=AB→ et AxA ; yA ; zA et BxB ; yB ; zB).

Conseils

1. Identifiez les arêtes et montrez qu’elles sont de même longueur.