Le produit scalaire permet de traduire analytiquement l’orthogonalité dans le plan, mais aussi dans l’espace.
I. Droites orthogonales
Soit D une droite de vecteur directeur u→≠0→, et Δ une droite de vecteur directeur v→≠0→.
P⊥Δ⇔u→ et v→ sont orthogonaux⇔u→⋅v→=0
II. Droites et plans perpendiculaires
Un plan P de l’espace peut être défini par la donnée d’un point A et de deux vecteurs v→ et w→ non colinéaires et non nuls : ce plan est l’ensemble des points M de l’espace tels que AM→=t1v→+t2w→ avec (t1 ; t2)∈ℝ2.
On dit que v→ et w→ sont des vecteurs directeurs du plan P.
À noter
Le couple v→ ; w→ détermine la direction du plan P.
Soit D une droite de vecteur directeur u→≠0→, et P un plan de vecteurs directeurs non colinéaires v→≠0→ et w→≠0→.
D ⊥ P⇔ u→⋅v→=0 et u→⋅w→=0
À noter
Le vecteur u→ est alors un vecteur normal au plan P.
III. Plans perpendiculaires
Soit P un plan de vecteur normal n→≠0→ et P′ un plan de vecteur normal n→′≠0→.
P ⊥ P′ ⇔n→ et n→′ orthogonaux⇔n→⋅n→′=0
Méthode
Démontrer l’orthogonalité à l’aide du produit scalaire
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ; i→, j→, k→), on considère le plan P passant par le point B(1 ; −2 ; 1) et de vecteur normal n→(−2 ; 1 ; 5), et le plan ℛ dont x+2y−7=0 est une équation cartésienne.
a. Démontrer que les plans P et ℛ sont perpendiculaires.
b. Démontrer que l’intersection des plans P et ℛ est la droite passant par le point C(−1 ; 4 ; −1) et de vecteur directeur u→(2 ; −1 ; 1).
Conseils
a. Commencez par déterminer un vecteur normal au plan ℛ.
b. Vérifiez que C appartient à P et à ℛ, puis que u→ est orthogonal à un vecteur normal au plan P et à un vecteur normal au plan ℛ.
Solution
a. Le plan ℛ a pour équation cartésienne x+2y−7=0, donc n→′(1 ; 2 ; 0) est un vecteur normal à ℛ. Or n→⋅n→′=−2×1+1×2+5×0=0, donc les plans Pet ℛ sont perpendiculaires.
À noter
n→a ; b ; c est un vecteur normal au plan P d’équation ax+by+cz+d=0.
b. Des plans sécants et non confondus se coupent selon une droite. Notons Δ la droite d’intersection de P et ℛ.
−1+2×4−7=0, donc les coordonnées de C vérifient une équation cartésienne du plan ℛ, ce qui prouve que C appartient à ℛ.
Déterminons une équation cartésienne du plan P. n→(−2 ; 1 ; 5) est un vecteur normal au plan P, donc P admet une équation cartésienne de la forme : −2x+y+5z+d=0 avec d∈ℝ.
Le point B(1 ; −2 ; 1) appartient à P donc : −2×1−2+5×1+d=1+d=0, soit d=−1. Finalement, une équation cartésienne de P est −2x+y+5z−1=0. Or, −2×(−1)+4+5×(−1)−1=0, donc C appartient à P.
On en déduit que C appartient à Δ = P∩ ℛ.
Le vecteur u→(2 ; −1 ; 1) est orthogonal à n→ et à n→′. En effet :
n→⋅u→=−2×2+1×−1+5×1=0 et n→′⋅u→=1×2+2×−1+0×1=0. Donc le vecteur u→ est un vecteur directeur de la droite Δ.
Conclusion : L’intersection des plans P et ℛ est la droite Δ passant par le point C(−1 ; 4 ; −1) et de vecteur directeur u→(2 ; −1 ; 1).