La notion de limite vue pour les suites peut s’étendre aux fonctions, que x tende vers + ∞, − ∞ ou vers un nombre fini.
I. Limite finie en l’infini
Définition : Dire que ℓ est la limite de f(x) quand x tend vers + ∞ signifie qu’il existe un nombre x0 tel que, pour tout x > x0, tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x).
Autrement dit, ℓ est la limite de f(x) quand x tend vers + ∞ (resp. − ∞) si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand (resp. pourvu que x soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue).
On note limx→+ ∞fx=l (resp. limx→− ∞fx=l).
Exemples : limx→+ ∞1x=0 ;limx→− ∞1x=0 ; limx→− ∞ex−1=− 1.
Définition : Soit ℓ un nombre réel.
Dire que la droite d’équation y=l est asymptote à la courbe représentant f en + ∞ (resp. en − ∞) signifie que limx→+ ∞fx=l (resp. limx→− ∞fx=l).
À noter
La courbe se rapproche de « plus en plus » de son asymptote.
II. Limite infinie en l’infini
Définition : Soit A un nombre réel. Dire qu’une fonction f tend vers + ∞ (resp. − ∞) quand x tend vers + ∞ signifie que tout intervalle de la forme A ; + ∞contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand.
On note limx→+ ∞fx=+ ∞ et limx→+ ∞fx=− ∞ (resp. limx→− ∞fx=± ∞).
Exemples : Soit n un entier naturel. On a limx→+ ∞xn=+ ∞ ; limx→− ∞xn = + ∞ ou − ∞ selon la parité de n ; limx→+ ∞x=+ ∞ ; limx→+ ∞ex=+ ∞.
III. Limite infinie en un point
Définition : Dire que f a pour limite + ∞ (resp. − ∞) en x0 signifie que tout intervalle du type ]A ; + ∞[ (resp. ] − ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x), pourvu que x soit suffisamment proche de x0.
Exemples : limx→0+1x=+ ∞ etlimx→0−1x=− ∞
Définition : Soit ℓ un nombre réel. La droite d’équation x=l est asymptote à la courbe représentant f si limx→lfx=± ∞.
Méthode
Lire et interpréter une limite
On considère une fonction f dont le tableau de variations est donné ci-dessous.
a. Quel est l’ensemble de définition de f ?
b. Quelles sont les limites données dans ce tableau ? Les interpréter graphiquement, puis donner une allure de la courbe représentant f.
Conseils
Les limites de f se lisent en + ∞, − ∞ et aux points en lesquels la fonction n’est pas définie.
Solution
a. L’ensemble de définition de f est − ∞, 4∪4, + ∞.
b. On lit les limites suivantes : limx→− ∞fx=− ∞ et limx→+ ∞fx=2.
Lorsque x tend vers 4 en restant supérieur à 4, on a limx→4+fx=+ ∞.
À noter
limx→4−fx peut également se noter limx→4x<4fx. Cette écriture montre bien que x se rapproche de 4 en étant dans l’intervalle − ∞ ; 4.
La courbe représentant f admet donc pour asymptote horizontale la droite d’équation y=2 en + ∞ et pour asymptote verticale la droite d’équation x=4.
