Les vecteurs de l’espace

On peut étendre à l’espace, qui est muni d’un repère orthonormé $(O\;;\;\overrightarrow{i}\;,\overrightarrow j \;,\overrightarrow{k})$, la notion de vecteur vue dans le plan, et les opérations associées.

I. Définitions et opérations

1) Vecteurs de l’espace

Soit A et B deux points de l’espace. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par :

sa direction, celle de la droite $(AB)$ ;

son sens, de A vers B ;

sa norme, notée   $||\overrightarrow{AB}||$  , qui est la distance $AB=||\overrightarrow{AB}||$ ​.

Comme en géométrie plane, on peut définir la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ (notée $t_{\overrightarrow{AB}}$) qui transforme le point A en le point B.

Pour tous points A, B, C, D :

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$\Leftrightarrow$$ABCD$ est un parallélogramme. 

2) Addition de deux vecteurs

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs. On définit le vecteur $\overrightarrow{u+v}$ en construisant un parallélogramme : si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ ,

alors $\overrightarrow{u+v}=\overrightarrow{AD}$ tel que ABDC est un parallélogramme. L’image du point C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$  est D.

Pour tous les points A, B et C : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$  (relation de Chasles).

3) Multiplication d’un vecteur par un réel

Soit $\overrightarrow{u}$  un vecteur de l’espace, $\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{0}$, et α un réel, α≠0.

Le produit du vecteur $\overrightarrow{u}$  par le réel α est le vecteur noté $a\overrightarrow{u}$  qui a :

la même direction que $\overrightarrow{u}$  ;

le même sens que $\overrightarrow{u}$  si α>0, le sens contraire si α<0 ;

pour norme   $||\overrightarrow{au}||=|a|\times ||\overrightarrow{u}||$  .

Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou α=0, alors $\overrightarrow{au}=\overrightarrow{0}$ .

Pour tous nombres réels $a$ et $b$, et tous vecteurs $\overrightarrow{u}$  et $\overrightarrow{v}$  de l’espace :

À noter

Comme dans le plan, le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$ , est le vecteur dont la norme est égale à 0. L’opposé d’un vecteur $\overrightarrow{u}$  est le vecteur $\overrightarrow{-u}$ .

$a(\overrightarrow{u}+\overrightarrow v)=\overrightarrow{au}+\overrightarrow{av}$  et $(a+b)\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$.

II. Vecteurs colinéaires et points alignés, coordonnées

Soit A, B et C trois points de l’espace.

A, B, C alignés $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{AC}$ colinéaires $\Leftrightarrow$ Il existe $a\in \textbf R \text{ tel que } \overrightarrow{AC}=a\overrightarrow{AB}$.

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ (x ; y ; z) et $\overrightarrow{v}$ (x′ ; y′ ; z′) de l’espace, et tout a∈ℝ : $\overrightarrow{u+v}$ (x+x′ ; y+y′ ; z+z′) et $\overrightarrow{au}$ (a x ; a y ; a z).

Soit $A(x_A\;;\; y_A \;;\; z_A)$ et $B(x_B \;;\; y_B \;;\; z_B)$ deux points de l’espace. On note $I$ le milieu de $[AB]$.

$\overrightarrow{AB}~(x_B-x_A\;;\;y_B-y_A\;;\;z_B-z_A)$

$I~\left(\dfrac{xA+xB}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$

Pour tous points $A(x_A\;;\; y_A \;;\; z_A)$ et $B(x_B \;;\; y_B \;;\; z_B)$  de l’espace :

$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}=AB$

Conseils

a. Commencez par calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis cherchez un nombre réel a tel que $\overrightarrow{AC}=a\times \overrightarrow{AB}$.

b. Appliquez la formule $I~\left(\dfrac{xA+xB}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$.