On se place dans un repère orthonormé O ; i→, j→, k→ de l’espace et on caractérise un plan à l’aide d’une équation à trois inconnues : x, y, z.
I. Équation cartésienne d’un plan
Théorème Tout plan dont un vecteur normal a pour coordonnées (a ; b ; c) a une équation cartésienne de la forme :
ax+by+cz+d=0
Réciproquement : si a, b, c et d sont quatre nombres tels que (a, b, c)≠(0, 0, 0), toute équation de la forme ax+by+cz+d=0 est celle d’un plan dont n→(a ; b ; c) est un vecteur normal.
Un plan a une infinité d’équations cartésiennes. Si ax+by+cz+d=0 est l’une d’elle, alors k(ax+by+cz+d)=0 en est une autre pour tout réel k≠0.
Deux plans d’équations respectives ax+by+cz+d=0 et a′x+b′y+c′z+d′=0 sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux le sont, c’est-à-dire si et seulement si aa′+bb′+cc′=0.
II. Intersections de deux plans
Théorème Tout système de la forme
{ax + by + c + d = 0a′x + b′y + c′z + d′ = 0
où les deux équations sont celles de deux plans distincts P et P′, admet une infinité de solutions si et seulement si P et P′ ont des vecteurs normaux n→ et n→′non colinéaires.
Les solutions de ce système sont les coordonnées des points de la droite d’intersection D des deux plans.
À noter
Un vecteur directeur u→ de D est orthogonal à chaque vecteur normal de P et P′.
Remarque : Le système a des solutions si et seulement si n→ et n→′ ne sont pas colinéaires, c’est-à-dire si les triplets (a, b, c) et (a′, b′, c′) ne sont pas proportionnels. En effet, dans le cas contraire, P et P′ sont parallèles.
Méthodes
1) Écrire une équation cartésienne d’un plan
a. On donne les points A−1 ; 2 ; 0, B2 ; 3 ; −1 et C0 ; − 4 ; 2.
P passant par A et orthogonal à la droite (BC).
b. Écrire une équation cartésienne des plans (xOy), (yOz) et (zOx).
Conseils
a. Calculez les coordonnées de BC→ normal au plan P, puis traduisez analytiquement le fait qu’un point M appartient à P si et seulement si AM→⋅BC→=0.
b. Déterminez un vecteur normal aux plans, sachant qu’ils contiennent l’origine O.
Solution
a. Un vecteur normal au plan P est BC→. Celui-ci a pour coordonnées 0−2 ; − 4−3 ; 2−−1, soit BC→−2 ; − 7 ; 3.
Un point M appartient à P si et seulement si AM→⋅BC→=0, donc si et seulement si
(x + 1) \times (−2) + (y −2) \times (−7) + (z − 0) \times 3=0
\Leftrightarrow −2x − 7y + 3z + 12 = 0.
b. k→(0 ; 0 ; 1) est un vecteur normal au plan (xOy), qui a donc pour équation 0x+0y+1z+d=0 soit z=0 car le plan contient O.
2) Étudier l’intersection de deux plans
On considère les plans P et Q d’équations cartésiennes respectives
Examiner la nature de l’intersection de P et Q.
Conseils
Étudier l’intersection de P et Q revient à résoudre un système d’équations.
Solution
2x + 7y − 3z − 11 = 0
\Leftrightarrow −2x − 7y + 3z + 11 = 0.
−2x − 7y + 3z = −12 − 2x − 7y + 3z = −11 a des solutions.
Ce n’est pas le cas car . L’intersection des deux plans est donc vide. C’est pourquoi ces plans sont parallèles.