Approche graphique du nombre dérivé
A) Sécante et tangente
Sécante à une courbe en un point
La courbe 𝒞 est la représentation graphique d’une fonction f. A est un point fixe d’abscisse a et d’ordonnée .
On considère le point M de la courbe 𝒞 d’abscisse a + h et d’ordonnée f(a + h).
La droite (AM) est sécante à la courbe 𝒞.
Le taux d’accroissement de la fonction f entre les valeurs a et a + h est : .
Le taux d’accroissement est le coefficient directeur de la sécante (AM).
À savoir
Le taux d’accroissement d’une fonction f entre les valeurs distinctes et est : .
Le coefficient directeur de la droite (AB) qui passe par les points et est : .
Tangente à une courbe en un point
On imagine que le point M se déplace sur la courbe 𝒞. En se rapprochant de A. L’abscisse a + h de M se rapproche de l’abscisse a de A, c’est-à-dire que h se rapproche de 0. Lorsque h tend vers 0, les sécantes (AM) tendent vers une position limite représentée par la droite (AT) sur la figure, appelée tangente à la courbe au point A.
B) Nombre dérivé en un point
DÉFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle et soit a un nombre fixé de cet intervalle.
Le nombre dérivé de la fonction f en a, noté , est, si elle existe, la limite finie quand h tend vers 0 du taux de variation de la fonction f au point a.
Si existe, la fonction f est dérivable en a.
Fonction dérivée
A) Définition
DÉFINITION
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
La fonction dérivée de f est la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x.
B) Opérations sur les fonctions dérivables
Dans ce qui suit, f et g sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I. k est une constante réelle quelconque.
C) Dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3
Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».
EXEMPLE
• Soit f la fonction définie sur pour : .
Pour tout x de , .
• Soit f la fonction définie sur pour : .
Pour tout x de , .
• Soit f la fonction définie sur par .
Pour tout x de , .
Construction et équation réduite d'une tangente
A) Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur (rappel)
Coefficient directeur
Soit 𝔇 la droite d’équation dans un repère , m est le coefficient directeur de 𝔇 et p est l’ordonnée à l’origine de 𝔇.
Expression du coefficient directeur m d’une droite passant par deux points donnés.
Soit et deux points de 𝔇 d’abscisses différentes : alors .
Une méthode pour construire une droite passant par un point donné A et dont le coefficient directeur m est donné. À partir du point de la droite 𝔇, d’équation , on obtient un deuxième point B de la droite 𝔇 en ajoutant 1 à l’abscisse A et m à l’ordonnée de A : et .
B Construire la tangente à une courbe en un point
On remplace dans la méthode du A m par le coefficient directeur de la tangente.
À partir du point donné où , on obtient un deuxième point B de la tangente 𝔇 en ajoutant 1 à l’abscisse de A et à l’ordonnée de A : et .
C) Équation de la tangente en un point à la courbe représentative de f
Équation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction au point d’abscisse a
y = f′(a)(x – a) + f(a).
EXEMPLE
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x2 – x – 1.
On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d’abscisse a = 1. Une équation de la tangente est donc : y = f′(1) (x – 1) + f(1).
f(1) = 2 – 1 – 1 = 0.
Pour calculer f′(1) il faut d’abord déterminer f′(x).
Pour tout x de ℝ, f′(x) = 2(2x) – 1, f′(x) = 4x – 1. D’où f′(1) = 3.
L’équation de la tangente est donc : y = 3(x – 1) + 0 ; y = 3x – 3.
Sens de variation d'une fonction
Le signe de la dérivée comme conséquence du sens de variation de la fonction
THÉORÈME
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I.
• Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I.
• Si f est constante sur I, alors pour tout x de I.
Le sens de variation d’une fonction comme conséquence du signe de la dérivée
THÉORÈME
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si pour tout x de I, alors f est strictement croissante sur I.
• Si pour tout x de I, alors f est strictement décroissante sur I.
• Si pour tout x de I, alors f est constante sur I.
EXEMPLE
On considère la fonction f définie sur [–2, 3] par :
f(x) = x3 – 3x2 + 1.
• Pour tout x appartenant à [0, 3], f′(x) = 3x2 – 3(2x) + 0, f′(x) = 3x2 – 6x, f′(x) = 3x(x – 2).
• Les solutions de l’équation f′(x) = 0 sont 0 et 2. x – 2 ≥ 0 équivaut à x ≥ 2.
Lorsque x varie dans [0, 3], le signe de f′(x) = 3x(x – 2) est donné par le tableau :
On peut alors remplir le tableau de variation suivant :
Minimums et maximums
La lecture du tableau de variation ou l’observation de la représentation graphique d’une fonction f permet de déterminer ses éventuels extremums (minimum m et maximum M) sur son intervalle de définition I. Si m et M existent, alors, pour tout x de l’intervalle I, on a : .
Théorème
Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum (ou un minimum) en un point a distinct des extrémités de I, alors f’ (a) = 0.