I. Probabilité associée à la répétition d'épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli
1) Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p (nombre réel compris entre 0 et 1) est une épreuve aléatoire comportant deux issues :
Le paramètre p est la probabilité de l’évènement « succès », 1 – p la probabilité de l’évènement « échec ».
Exemple
Une urne contient dix boules indissociables au toucher : sept rouges et trois vertes. On prélève au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur. Toutes les boules ont la même probabilité d’être prélevées.
Le tirage d’une boule de l’urne est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,7, si on appelle « succès » obtenir une boule rouge. Si on appelle « succès » obtenir une boule verte, p = 0,3.
2) Répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli
On considère une épreuve aléatoire consistant à répéter n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Exemple
On reprend l’exemple du paragraphe A.
On note R l’événement : « la boule prélevée est rouge » ; on note V l’événement : « la boule prélevée est verte ». On remet la boule prélevée dans l’urne et on recommence l’expérience une seconde fois. Un résultat possible est noté par un couple, par exemple (R, R), la première boule est rouge et la seconde est rouge.
Il s’agit de la répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On peut construire l’arbre pondéré ci-dessous.
On admet la propriété suivante.
Propriété
Dans un arbre des probabilités associé à une répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli, la probabilité d’obtenir un résultat est égale au produit des probabilités figurant sur le chemin conduisant à ce résultat.
On a donc : P(R,R) = 0,7 × 0,7 = 0,49 ; P(R,V) = 0,7 × 0,3 = 0,21 ; P(V,R) = 0,3 × 0,7 = 0,21 ; P(V,V) = 0,3 × 0,3 = 0,09.
II. Variables aléatoires
1) Variable aléatoire discrète
Exemple
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher.
Sur chacune d’elles est inscrit un nombre comme l’indique le tableau ci-dessous :
Un joueur mise 4 €, tire une boule au hasard. Chaque boule a la même probabilité d’être tirée. Il reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule.
On peut rajouter une ligne « gain », au tableau de l’énoncé, dont les nombres sont obtenus en retirant la mise de 4 euros dans chaque cas.
Nous sommes donc amenés à introduire X qui associe à chaque tirage d’une boule le gain en euros susceptible d’être obtenu.
Chaque valeur possible du gain X, k, a une probabilité notée pk.
On dit que X est une variable aléatoire.
L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est {−3, −2, 1, 6}.
Remarques
X est une variable aléatoire discrète, car elle prend des valeurs isolées (ici : –3, –2, 1, 6).
On note {X=−3}, l’événement « obtenir un “gain” de –3 euros ». On note P(X=−3) la probabilité de cet événement.
{X≤1} est l’événement « obtenir un gain inférieur ou égal à 1 euro ». On note P(X≤1) la possibilité de cet événement.
À retenir
Une variable aléatoire discrète X prend, lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x1, x2 …, xn avec des probabilités p1, p2, …, pn.
2) Loi de probabilité
Exemple
On reprend l’exemple du A.
À l’aide du deuxième tableau de l’exemple du A, on obtient :
P(X=−3)=410=0,4 ; P(X=−2)=310=0,3 ; P(X=1)=210=0,2 ; P(X=6)=110=0,1.
On peut alors remplir le tableau suivant.
Ce tableau définit une fonction f : k↦f(k)=P(X=k) appelée loi de probabilité associée à la variable aléatoire X.
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète prenant, lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x1, x2, …, xi, …, xn avec des probabilités p1, p2, …, pi, …, pn.
La loi de probabilité associée à X est la fonction f qui à tout xi associe f(xi) = P(X = xi) = pi.
À retenir
En notant pi=P(x=xi), on vérifie que la somme des pi est égale à 1, ce que l’on note : Σ pi=1.
3) Espérance
Définition
L’espérance d’une variable aléatoire X prenant m valeurs xi avec les probabilités pi = P(X = xi) est E(X) = p1x1 + p2x2 + … + pmxm.
Exemple
On reprend l’exemple du A et B.
L’espérance E(X) de la variable aléatoire X est : E(X)=∑pixi, c’est-à-dire :
E(X)=−3×0,4−2×0,3+1×0,2+6×0,1,
E(X)=−1.
On peut interpréter l’espérance comme une « moyenne » des valeurs de la variable aléatoire.
4) Loi de Bernoulli (0, 1) de paramètre p
Définition
La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de la variable aléatoire discrète X qui code le résultat d’une épreuve de Bernoulli : 1 pour « succès », 0 pour « échec » :
P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 − p.
III. Algorithmique, programmation et variables aléatoires
1) Simuler une réalisation selon une loi de probabilité donnée
On considère la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-contre.
Pour simuler une réalisation de la variable aléatoire X, on peut utiliser le générateur de nombres pseudo-aléatoires du tableur, ALEA(), ou de Python, random(), qui produit un nombre au hasard dans [0, 1[. Il suffit de partager l’intervalle [0, 1[ en trois parties de longueurs égales à chaque valeur pi comme sur la figure ci-contre.
La simulation consiste alors à tirer un nombre au hasard entre 0 et 1 et à renvoyer la réalisation de X correspondant à la zone dans laquelle se situe le nombre tiré.
Remarque
Avec Python, on peut directement utiliser la fonction choices du module random pour obtenir une liste de n réalisations de la variable aléatoire X par :
choices([-1, 2, 4], [2/3, 1/6, 1/6], k = n).
2) Simuler une réalisation selon une loi de Bernoulli
Il s’agit d’un cas particulier du cas précédent. La variable aléatoire X prend la valeur 1 (« succès ») avec la probabilité p et la valeur 0 avec la probabilité 1 − p.
On partage l’intervalle [0, 1[ en deux parties de longueurs p et 1 − p.
La simulation consiste alors à tirer un nombre au hasard entre 0 et 1 et à renvoyer 1 si le nombre tiré est dans l’intervalle [0, p[ et 0 si le nombre tiré est dans [p, 1[.
