Le nombre de listes de k objets deux à deux distincts pris parmi n, ordonnées ou non, se détermine en fonction de k et de n.
I. Arrangements et factorielle
Définition : Soit k∈ℕ*. On appelle arrangement de k éléments d’un ensemble E comportant n éléments, tout k-uplet d’éléments deux à deux distincts de E.
Théorème : Le nombre d’arrangements de k éléments d’un ensemble à n éléments est n(n−1)(n−2)…(n−k+1).
Définition : La factorielle d’un entier naturel non nul n est le produit des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à n ; elle est notée n!.
On convient de plus que 0!=1.
Remarque : Un arrangement des n éléments d’un ensemble E à n éléments est appelé une permutation des éléments de E. Il y a n! permutations de E.
À noter
Pour tout entier naturel n : n+1!=n+1×n!
II. Combinaisons
Définition : Soit k∈ℕ*. On appelle combinaison de k éléments d’un ensemble E comportant n éléments, toute partie de E possédant k éléments.
Théorème : Soit n∈ℕ et k entier, 0≤k≤n. Le nombre de combinaisons de k éléments d’un ensemble à n éléments est n(n−1)(n−2)…(n−k+1)k! ou encore n!k!(n−k)!.
Ce nombre est noté nk qu’on lit « k parmi n ».
Valeurs particulières et propriétés
Pour tous entiers naturels n et k, 0≤k≤n :
n0=1 ; n1=n ; n2=nn−12 et nk=nn−k
nk+nk+1.
Cette relation permet de construire le triangle de Pascal qui donne la valeur des nk pour des petites valeurs de n :
Méthodes
1) Déterminer un nombre de k-uplets
On dispose de 10 couleurs pour fabriquer un drapeau tricolore de trois bandes horizontales. Combien de drapeaux différents pourra-t-on fabriquer ?
Conseils
Identifiez la taille des k-uplets, c’est-à-dire k, et l’ensemble des éléments pouvant former ces k-uplets.
Solution
Pour fabriquer un drapeau tricolore il faut choisir trois couleurs différentes parmi les 10 couleurs et colorier les bandes du drapeau, par exemple de haut en bas, à l’aide de ces trois couleurs.
2 Calculer à l’aide de combinaisons
a. On désire former une équipe de 15 élèves dans une classe qui en comporte 20. Combien d’équipes différentes pourrait-on former ?
b. Calculer 94 et 96. En déduire 95, 105, 106 et 116.
Conseils
On rappelle que n k est le nombre de choix de k objets parmi n.
Solution
a. Il y a 2015 manières de choisir 15 élèves cartes parmi 20.
Or, 2015=205 par symétrie et .
b. On a et, par symétrie, .
En utilisant la symétrie puis la relation de Pascal :
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