La limite d’une suite géométrique dépend de sa raison. On ne considérera que les suites géométriques de raison positive et strictement inférieure à 1.
I. Suites géométriques
On considère les suites géométriques de raison q positive.
Rappel : Soit une suite (un) géométrique de premier terme u0 et de raison q. On a pour tout n∈ℕ:
un=u0×qn
À noter
Une suite géométrique u de raison q est définie pour tout n∈ℕ par un+1=un×q.
Théorème :
Si 0 ⩽ q<1 alors limn→+ ∞qn=0
À noter
Si q = 1 alors la suite de terme général qn est constante égale à 1.
Si q = −1 alors la suite de terme général qn est bornée, et vaut alternativement −1 et 1.
Remarques :
Si q = 1 alors limn→+ ∞qn=1.
Si q > 1 alors 0<1q<1 donc limn→+ ∞(1q)n=0.
À noter
On a pour tout n∈ℕ, e−n=1en et −1<1e<1 donc limn→+ ∞(1e)n=0 soit limn→+ ∞e−n=0.
II. Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
Rappel : On a pour tout réel q ≠ 1 :
1+q+q2+…+qn=1−qn+11−q
Théorème :
Si 0 ⩽ q<1 alors limn→+ ∞(1+q+q2+…+qn)=11−q
Méthodes
1) Étudier la limite de suites géométriques
Étudier la limite des suites de termes généraux :
un=22n ; vn=12n et wn=1−2n3n.
Conseils
Pour la suite (un), appliquez le théorème ; pour (vn), remarquez que 12n=(12)n ; pour (wn), « distribuez » le dénominateur.
Solution
L’arrondi au dixième de 22 est 0,7 donc 0 ⩽ 22<1 donc limn→+ ∞un=0.
On a pour tout n∈ℕ, vn=12n et 0 ⩽ 12<1 donc limn→+ ∞vn=0.
Pour tout n∈ℕ, wn=13n−2n3n=13n−23n. De plus, 0 ⩽ 13<1 et 0 ⩽ 23<1 donc limn→+ ∞(13)n= limn→+ ∞(23)n=0, d’où par différence limn→+ ∞wn=0.
2) Déterminer la limite d’une somme de termes consécutifs
Soit n un entier naturel non nul. Déterminer la limite des sommes suivantes :
Sn=1+0,25+0,252+…+0,25n
Tn=1+12+122+…+12n
Dn=0,1+0,01+…+0,1n
Conseils
Pour Sn, appliquez directement le théorème ; pour Tn, considérez une suite géométrique de raison 12 ; pour Dn, remarquez qu’il manque le premier terme pour pouvoir appliquer directement le théorème.