La fonction exponentielle étudiée en Première sert à définir la fonction logarithme népérien, et permet l’étude de fonctions plus complexes, grâce à la composition.
I. Définitions et notations
Définition : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ, de dérivée elle-même, et qui prend la valeur 1 en 0. On la note exp.
Notations : Le nombre exp(1) se note e, et pour tout x ∈ ℝ, on note exp(x) = ex.
Définition : Pour toute fonction u définie sur un intervalle I, on définit la fonction eu par :
pour tout x ∈ I, (eu)(x) = eu(x)
II. Propriétés analytiques
La fonction exp est dérivable sur ℝ, et pour tout x ∈ ℝ:
exp′(x)=exp(x)
La fonction exp est strictement croissante sur ℝ.
limx→− ∞ex=0 et limx→+ ∞ex=+ ∞.
Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, la fonction eu est dérivable sur I, et on a :
eu′=u′ × eu
III. Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b, et pour tout entier n, on a :
ea × eb = ea + b • ean=ena • e−a=1ea • eaeb=ea−b
IV. Équations et inéquations
Pour tous réels a et b, on a :
ea = eb ⇔ a = b • ea < eb ⇔ a < b
Méthode
Étudier une fonction contenant une exponentielle
Étudier la fonction f définie sur ℝ par :
f(x)=e−x2
Conseils
Étape 1 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.
Étape 2 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.
Étape 3 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
Étape 4 Dressez le tableau de variations de f.
Étape 1
f est de la forme eu avec u(x) = - x², pour tout réel x.
Elle est donc définie et dérivable sur ℝ. De plus eu′=u′eu, avec u′x=−2x.
Donc pour tout réel x, f′x=−2xe−x2.
Étape 2
La fonction exponentielle est strictement positive, donc −2xe−x2 est du signe de -2x, d’où f′x>0 pour tout x ∈ ]-∞ ; 0[, et f′x<0 pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[.
Donc f est strictement croissante sur ]− ∞ ; 0[, et strictement décroissante sur ]0 ; + ∞[.
Étape 3
On sait que limx→− ∞ex=0, donc limx→− ∞fx=limx→+ ∞fx=0, par composition.
Étape 4
