Le produit scalaire de deux vecteurs peut s’exprimer à partir de leurs normes et de leur angle. L’orthogonalité de deux vecteurs, prouvée à l’aide d’un calcul de produit scalaire, est associée à la perpendicularité de deux droites.
I. Autre expression du produit scalaire
Soit u→ et v→ deux vecteurs du plan.
Si l’un des vecteurs u→ ou v→ est le vecteur nul, alors u→⋅v→=0.
Si aucun des vecteurs u→ et v→ n’est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que u→=AB→ etv→=AC→. Avec α une mesure de l’angle BAC^ on a :
u→⋅v→=AB×AC×cosα
Remarques :
• Si l’angle BAC^ est aigu, alors α∈[0;π2[ et cos α > 0, donc u→⋅v→>0.
• Si l’angle BAC^ est obtus, alors α∈[π2;π[ et cos α < 0, donc u→⋅v→<0.
• Si BAC^ est un angle droit, alors cos α = 0 et u→⋅v→=0.
II. Vecteurs orthogonaux
1) Définition
Soit u→ et v→ deux vecteurs du plan.
u→ et v→ sont orthogonaux si et seulement si : u→⋅v→=0
Le vecteur nul 0→ est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs AB→ et CD→ sont orthogonaux.
Si u→ est un vecteur directeur de la droite 𝒟, alors tout vecteur non nul orthogonal à u→ est appelé vecteur normal à 𝒟.
2) Critère d’orthogonalité
Si les vecteurs u→ et v→ ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base orthonormée du plan, alors u→ et v→ sont orthogonaux si et seulement si :
xx′ + yy′ = 0
Méthode
1) Montrer que deux droites sont perpendiculaires
ABCD est un carré de côté c. Les points E et F sont définis par CE→=32CD→ et BF→=32BC→. Montrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires.
Conseil
Utilisez la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs AF→ et BE→ et les écrire en fonction des vecteurs AB→, BC→ et CD→, puis calculez leur produit scalaire.
Solution
AF→=AB→+BF→=AB→+32BC→ et BE→=BC→+CE→=BC→+32CD→.
Donc AF→⋅BE→=(AB→+32BC→)⋅(BC→+32CD→) et, en développant :
AF→⋅BE→=AB→⋅BC→+32AB→⋅CD→+32BC→⋅BC→+94BC→⋅CD→.
AB→⋅BC→=0 et BC→⋅CD→=0 car BC→ est orthogonal à AB→ et à CD→.
AB→⋅CD→=–c2 et BC→⋅BC→=c2, d’où AF→⋅BE→=0–32c2+32c2+94×0=0.
AF→ et BE→ sont orthogonaux, donc (AF) et (BE) sont perpendiculaires.
2) Calculer la mesure d’un angle
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ; 4), B(–2 ; 2) et C(6 ; –2). Calculer le produit scalaire AB→⋅AC→ et en déduire la mesure α en degrés de l’angle BAC^ à 0,1 degré près.
Conseil
Calculez les coordonnées des vecteurs AB→ et AC→. Utilisez une expression du produit scalaire pour calculer les distances AB et AC, puis cos α.
Solution
AB→(–4 ;–2) et AC→(4 ;–6), donc AB→⋅AC→=–4×4+(–2)×(–6)=–4.
On sait que AB→⋅AC→=AB×AC×cosα où α est la mesure de l’angle BAC^.
Donc cosα=AB→⋅AC→AB×AC.
Or AB=16+4=20=25 et AC=16+36=52=213AC=16+36=52=213.
Donc cosα=–425×213, soit cosα = – 165 et α = 97,1° à 0,1 degré près.