L’outil « produit scalaire » permet de résoudre de nouveaux problèmes de géométrie, par exemple calculer une mesure d’angle ou la longueur d’un segment.
I. Définition
À noter
Puisque u→≠0→ et v→≠0→, on a A ≠ B et A ≠ C.
Soit u→ et v→ deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est un nombre réel noté u→⋅v→ (on lit « u scalaire ν »).
Si l’un des vecteurs u→ ou v→ est le vecteur nul, alors u→⋅v→=0.
Si aucun des vecteurs u→ et v→ n’est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que u→=AB→ et v→=AC→.
On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors :
u→⋅v→={AB×AH si AB→ et AH→ sont de même sens–AB×AH si AB→ et AH→ sont de sens opposés
Cas particulier : si u→ et v→ sont colinéaires et u→≠0→ et v→≠0→, alors :
u→⋅v→={||u→||×||v→||si u→ et v→ sont de même sens–||u→||×||v→||si u→ et v→ sont de sens opposés
Mot clé
u→⋅u→ est le carré scalaire de u→ ; u→⋅u→=||u→||2.
II. Propriétés
Symétrie : pour tous vecteurs u→ et v→, u→⋅v→=v→⋅u→.
Bilinéarité : pour tous vecteurs u→, v→ et w→ et tout réel k :
{u→⋅(v→+w→)=u→⋅v→+u→⋅w→u→⋅(kv→)=(ku→)⋅v→=k(u→⋅v→)
III. Expression dans une base orthonormée
Si les vecteurs u→ et v→ ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base orthonormée du plan, alors :
u→⋅v→=xx′+yy′
Norme d’un vecteur : pour tout vecteur u→ de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée :
||u→||=x2+y2
Méthode
Calculer des produits scalaires
Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3, ABE est un triangle équilatéral, H est le milieu du segment [AB].
Calculer les produits scalaires suivants :
a. BC→⋅CD→b. DC→⋅DH→c. AB→⋅AC→d. BA→⋅AE→e. AB→⋅EC→
Conseil
a. Considérez les directions des deux vecteurs.
b. Décomposez le vecteur DH→ en utilisant la relation de Chasles.
c. Considérez le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).
d. Remarquez que BA→=–AB→, puis considérez le projeté orthogonal de E sur la droite (AB).
e. Utilisez les résultats des deux questions précédentes.
Solution
a. Les droites (BC) et (CD) sont perpendiculaires, donc les vecteurs BC→ et CD→ sont orthogonaux, donc BC→⋅CD→=0.
b. DH→=DA→+AH→, donc DC→ ⋅ DH→ = DC→ ⋅ (DA→ + AH→) = DC→ ⋅ DA→ + DC→ ⋅ AH→.
Les vecteurs DC→ et DA→ sont orthogonaux (les droites (DC) et (DA) sont perpendiculaires), donc DC→⋅DA→=0.
DC→⋅AH→=DC×AH car les vecteurs DC→ et AH→ sont colinéaires de même sens.
Or DC = AB = 4 et AH=12AB=2, donc DC→⋅AH→=4×2=8.
D’où DC→⋅DH→=0+8, soit DC→⋅DH→=8.
c. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B, donc AB→⋅AC→=AB×AB, donc AB→⋅AC→=16.
d. On a BA→⋅AE→=–AB→⋅AE→. Le triangle ABE est équilatéral, donc (EH) est la médiatrice du segment [AB]. Le projeté orthogonal de E sur la droite (AB) est donc H. Les vecteurs AB→ et AH→ sont colinéaires de même sens, donc AB→⋅AE→=AB×AH, donc BA→⋅AE→=–AB×AH, soit BA→⋅AE→=–8.
e. Par la relation de Chasles : AB→⋅EC→=AB→⋅(EA→+AC→)=AB→⋅EA→+AB→⋅AC→.
AB→⋅EA→=(–BA→)⋅(–AE→)=BA→⋅AE→, donc AB→⋅EA→=–8. De plus AB→⋅AC→=16.
Donc AB→⋅EC→=–8+16, soit AB→⋅EC→=8.