Polynômes et racines n-ièmes de l'unité

Nous allons donner des propriétés des racines de polynômes de degré $n$, puis déterminer les solutions du polynôme $P(z) = z^n-1$, qui sont les racines n-ièmes de l’unité.

I. Racines de polynômes de degré n

On appelle polynôme de degré $n \ge 1$ à coefficients réels une fonction $P$ définie sur $\mathbb{C}$ (et à valeurs dans $\mathbb{C}$) par :

$P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_1z+a_0$ et $(a_n~,~a_{n-1}~,\dots ,~a_1~,~a_0) \in \mathbb{R} ^{n+1}$.

Propriétés :

Soient $a \in \mathbb{C}$ et $P$ un polynôme de degré $n$ :

• $P$ est la fonction nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls ;
  
  
• Le polynôme $z^n-a^n$ peut être factorisé par $z-a$ ;
  
  
• Si $P(a)=0$, le polynôme $P$ peut être factorisé par $z-a$ ;
  
  
• $P$, qui est un polynôme de degré $n$, admet au plus $n$ racines.
  
  

II. Racines n -ièmes de l’unité

Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \ge 2$.

Une racine n-ième de l’unité est un nombre complexe vérifiant $z^n=1$.

L’ensemble $U_n=\left \{z \in \mathbb{C}~\text{tel que}~z^n=1\right \}$ des racines n-ièmes de l’unité est :

$U_n=\left \{\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}~\text{avec}~k \in \{0~;~1~;~2~;\dots;~n-1\}\right \}$

$\Leftrightarrow U_n=\left \{1~;~e^{\frac{2i\pi}{n}}~;~e^{\frac{4i\pi}{n}}~;\dots;~e^{\frac{2(n-1)i\pi}{n}}\right \}$

Leur module est $1$ et un de leurs arguments est $\dfrac{2k\pi}{n}$, donc leurs images sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.

Exemples :

On a notamment :

$U_2=\{z \in \mathbb{C}~\text{tel que}~z^2=1\}$

$\Leftrightarrow U_2=\{1~;~-1\}$

$U_3=\{z \in \mathbb{C}~\text{tel que}~z^3=1\}$

$U_3=\left \{e^{\frac{2ik\pi}{3}}~\text{avec}~k \in (0~;~1~;~2)\right \}$

$\Leftrightarrow U_3=\left \{1~;~e^{\frac{2i\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}~;~e^{\frac{4i\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right \}$

$U_4=\{z \in \mathbb{C}~\text{tel que}~z^4=1\}$

$U_4=\left \{e^{\frac{2ik\pi}{4}}=e^{\frac{ik\pi}{2}}~\text{avec}~k \in (0~;~1~;~2~;~3)\right \}$

$\Leftrightarrow U_4=\{1~;~-1~;~i~;~-i\}$

Conseils

a. Développez l’expression $(z^2+1)(z^2-16z+89)$, pour tout $z \in \mathbb{C}$.

b. Résolvez deux équations du second degré en remarquant notamment que $z^2+1=z^2-i^2$.

Conseils

Factoriser l’expression $z^4-1$ à l’aide d’une identité remarquable.