La loi exponentielle est une loi sans mémoire. Autrement dit la probabilité pour qu’un événement survienne entre deux instants dépend uniquement de sa durée et non de la date de son début.
I. Densité exponentielle
Définition : Soit λ un nombre strictement positif. La densité de probabilité exponentielle de paramètre λ est la fonction définie sur ℝ par :
f(x)={λe−λx si x ⩾ 00 si x <0
Exemple : Représentation graphique de f pour λ = 0,5 :
II. Loi exponentielle
Définition : Dire que la loi d’une variable aléatoire X est la loi exponentielle de paramètre λ signifie que la densité de X est la densité exponentielle de paramètre λ. Pour tout x ∈ ℝ, sa fonction de répartition est :
{F(x)=P(X ⩽ x)=0 si x ⩽ 0F(x)=P(X ⩽ x)=1−e−λx si x>0
On écrit X~E(λ).
P(a ≤ X ≤ b) est l’aire du domaine coloré sur la figure ci-contre et vaut :
P(a ≤ X ≤ b) = 1 − e−λb − (1 − e−λa) = e−λa − e−λb.
L’espérance de X est EX=1λ et la variance de X est V(X)=1λ2.
La loi exponentielle est sans mémoire. Pour tout x et tout a > 0 :
P(X > a) = PX> x(X > x + a).
Méthode
Utiliser la loi exponentielle
Soit X une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ > 0. On suppose que PX ⩽ 2=12.
a. Calculer λ.
b. Donner alors la valeur exacte de P(2 ≤ X ≤ 4).
c. Calculer la valeur exacte de P(X ≥ 3).
d. Calculer P(X ≥ x) pour tout x ∈ ℝ et tracer la courbe de x ↦ P(X ≥ x).
Conseils
a. Il suffit de revenir à la définition de P(X ≤ 2) pour une variable aléatoire exponentielle. Pour résoudre l’équation obtenue où figure une exponentielle, utilisez la fonction logarithme népérien.
b. On sait que pour tout a ≥ 0 et tout b ≥ 0 tels que a ≤ b, P(a ≤ X ≤ b) = e−λa − e−λb.
c. Pensez à utiliser l’événement contraire.
d. Généralisez le cas précédent en tenant compte du signe de x.
a. P(X ≤ 2) = 1 − e−2λ, donc 1−e−2λ=12, soit e−2λ=12 et −2λ=ln(12).
On a alors λ=−ln122=ln22.
b.P2 ⩽ X ⩽ 4=e−2λ−e−4λ=e−212ln(2)−e−412ln(2).
Or −212ln2=−ln2 et e−ln2=eln12=12.
De même −412ln2=−2ln2 et e−2ln2=e2ln12=eln14=14.
Donc P2 ⩽ X ⩽ 4=12−14=14.
c. On sait que P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3). D’autre part P(X < 3) = P(X ≤ 3) donc P(X ⩾ 3)=1−(1−e−3λ)=e−3ln(2)=(e−ln(2))3=(12)3=18.
d. Si x ≥ 0 on trouve PX ⩾ x=12x par analogie.
Si x < 0 alors P(X ≥ x) = 1 − P(X < x) = 1 car dans ce cas P(X < x) = 0.
