La notion de limite vue pour les suites peut s’étendre aux fonctions. On découvrira alors la limite lorsque x tend vers une valeur finie.
I. Limite finie en l’infini
Définitions : Dire que ℓ est la limite de f(x) quand x tend vers + ∞ (resp. − ∞) signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand (resp. pourvu que x soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue).
On note limx→+ ∞f(x)=ℓ (resp. limx→− ∞f(x)=ℓ).
Définitions : Soit ℓ un nombre réel. Dire que la droite d’équation y = ℓ est asymptote à la courbe représentative de f en + ∞ (resp. en − ∞) signifie que limx→+ ∞f(x)=ℓ (resp. limx→− ∞f(x)=ℓ).
À noter
La courbe se rapproche de « plus en plus » de son asymptote.
II. Limite infinie en l’infini
Définitions : Dire qu’une fonction f tend vers + ∞ (resp. − ∞) quand x tend vers + ∞ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; + ∞[ (resp. ]− ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand.
On note limx→+ ∞fx=+ ∞ (resp. limx→+ ∞f(x)=− ∞).
On a des définitions analogues lorsque x tend vers − ∞.
III. Limite infinie en un point
Définitions : Dire que f a pour limite + ∞ (resp. − ∞) en x0 signifie que tout intervalle de la forme ]A ; + ∞[ (resp. ]− ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment proche de x0.
Définition : Soit ℓ un nombre réel. Dire que la droite d’équation x = ℓ est asymptote à la courbe représentative de f signifie que limx→ℓf(x)=± ∞.
Remarque : Le calcul de limites de fonctions se fera d’une manière analogue à celui des suites, en utilisant les opérations sur les limites. On pourra faire tendre x vers une valeur finie, + ∞ ou − ∞.
Les limites des fonctions usuelles sont données dans le mémo visuel.
Méthode
Lire et interpréter une limite
On considère une fonction f dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous :
a. Quel est l’ensemble de définition Df de f ?
b. Quelles limites pouvez-vous lire sur ce graphique ?
Les interpréter géométriquement.
c. Dresser le tableau de variations complet de f sur Df .
Conseils
Les limites de f se lisent en + ∞, et aux points en lesquels la fonction n’est pas définie.
Solution
a. L’ensemble de définition de f est Df=]0 ; + ∞[.
b. D’après l’ensemble de définition, on voit qu’il faut déterminer deux limites : une limite en 0 et une limite en + ∞.
D’après le graphique, limx→0+fx=+ ∞ et limx→+ ∞fx=1.
On en déduit que les droites d’équation x = 0 et y = 1 sont asymptotes à la courbe représentative de f.
c.
