Les vecteurs position et vitesse

Les vecteurs position et vitesse sont caractéristiques du mouvement. La vitesse est la variation de la position : c’est sa dérivée par rapport au temps.

I. Le vecteur position

Le mouvement d’un point est étudié par rapport à un corps de référence appelé référentiel associé à un repère d’espace et un repère de temps (défini par une origine des dates t₀) et une unité de temps (la seconde dans le Système International).

Exemples : référentiel terrestre lié à la surface de la Terre, référentiel géocentrique lié au centre de la Terre, référentiel héliocentrique lié au Soleil.

Un point mobile M est repéré dans un repère d’espace noté (O ; i→, j→, k→), constitué d’un point origine O fixe dans le référentiel et d’un système d’axes orthonormés. Sa position est définie par son vecteur position dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des fonctions de la date t :

OM→=xti→+ytj→+ztk→

Les fonctions du temps x(t), y(t) et z(t) sont les équations horaires du mouvement.

II. Le vecteur vitesse

Le vecteur vitesse d’un point mobile M est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : vM→=dOM→dt.

Les coordonnées (v_x ; v_y ; v_z) du vecteur vitesse sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées (x ; y ; z) de M :

vM→=vxi→+vyj→+vzk→=dxdti→+dydtj→+dzdtk→

Le vecteur vitesse vM→ a pour :

origine : le point M ;

direction : la tangente au mouvement ;

sens : celui du mouvement ;

valeur : v=vx2+vy2+vz2.

La valeur de la vitesse s’exprime en m · s⁻¹.

Méthode

Établir les coordonnées du vecteur vitesse à partir du vecteur position

OM→ varient en fonction du temps suivant les équations horaires :

x(t) = t² − 3 × t + 2

y(t) = 2 × t + 1

a. Indiquer la position M₀ de M à l’origine des dates t = 0 s.

b. Tracer le vecteur position OM→₀.

c. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse vM→ à la date t.

d. Tracer vM→ aux dates t = 0 s, t = 1 s et t = 2 s.

e. Quelles propriétés du vecteur vitesse retrouve-t-on sur ce tracé ?

Conseils

a. Pour déterminer une position à une date t, remplacez t par sa valeur dans les équations horaires.

b. Le vecteur position est tracé à partir de l’origine O.

c. Décrivez les équations horaires x(t) et y(t) du vecteur position.

d. Le vecteur vitesse est tracé à partir du point considéré à la date choisie.

Solution

a. À t = 0 s, x(0) = 2 et y(0) = 1.

b. OM→₀ est tracé sur la figure ci-contre.

c. vx=dxdt = 2 × t − 3 et vy=dydt = 2.

vM→=2 t−3i→+ 2j→.

d. Coordonnées du vecteur vitesse :

à t = 0 s, v_x = −3 et v_y = 2 ;

à t = 1 s, v_x = −1 et v_y = 2 ;

à t = 2 s, v_x = 1 et v_y = 2.

e. Le vecteur vitesse est bien tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement.