Les notions d’espérance et de variance de variables aléatoires continues généralisent celles que l’on connaît pour les variables aléatoires discrètes.
I. Espérance
Définition : L’espérance d’une variable aléatoire X dont la densité de probabilité est f est le nombre noté E(X) :
E(X)=∫− ∞+ ∞tf(t)dt
À noter
Ici, les bornes de l’intégrale sont infinies .
L’espérance d’une variable aléatoire s’appelle aussi sa moyenne.
Remarque : Souvent la densité de probabilité est définie sur des intervalles bornés ou semi-bornés. Le calcul de l’intégrale se résume alors à un calcul entre a et b ou entre −∞ et b ou entre a et +∞.
Propriété : Comme pour les variables aléatoires discrètes, l’espérance est linéaire. Pour tous réels a et b : E(aX + b) = aE(X) + b.
II. Variance
Définition : La variance d’une variable aléatoire X dont la densité de probabilité est f est le nombre noté V(X) :
V(X)=∫− ∞+ ∞t2f(t)dt−(E(X))2
Pour calculer la variance d’une variable aléatoire il est donc nécessaire d’avoir calculé au préalable son espérance.
La variance est un indicateur de la dispersion des valeurs de X autour de son espérance : plus la variance est grande et plus les valeurs de X sont dispersées (on dit aussi étalées) autour de l’espérance.
Exemples : Courbes de densités de probabilité de variables aléatoires X d’espérance 3 et de variances plus ou moins grandes.
Méthode
Calculer l’espérance d’une variable aléatoire continue
On pose f(t)={e−t si t ⩾ 00 si t <0.
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Vérifier que F définie par F(t) = e−t(−t − 1) est une primitive de t ↦ te−t.
3. Montrer que ∫0Ate−tdt=−Ae−A−e−A+1.
4. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X de densité f.
Conseils
1. Utilisez les formules du cours et la limite : limx→+ ∞e−x=0.
2. La dérivée de x ↦ eax est x ↦ aeax (où a est une constante). Utilisez la formule de la dérivée d’un produit de fonctions : uv′=u′v+uv′.
3. Si F est une primitive de f alors ∫abf(t)dt=F(b)−F(a).
4. Utilisez limx→+ ∞xex=0.
1. La fonction f est évidemment positive et continue par morceaux.
De plus, ∫− ∞+ ∞f(t)dt=∫0+ ∞f(t)dt=limx→+ ∞∫0xf(t)dt.
Or ∫0xf(t)dt=[−e−t]0x=1−e−x. De plus limx→+ ∞e−x=0.
Il en résulte que limx→+ ∞∫0xf(t)dt=1. On a donc bien ∫− ∞+ ∞f(t)dt=1.
C’est pourquoi f est une densité de probabilité.
2. On a F′(t)=−e−t(−t−1)+e−t(−1)= e−t(t+1−1)=te−t.
3.∫0Ate−tdt=F(A)−F(0) = e−A(−A − 1) − e0(−1) = −Ae−A−e−A+1.
4. On sait que E(X)=∫− ∞+ ∞tf(t)dt=∫0+ ∞te−tdt=limA→+ ∞∫0Ate−tdt. De plus limA→+ ∞(−Ae−A−e−A+1)=0+0+1=1. Donc E(X)=∫0+ ∞te−tdt=1.