Résolution de l’équation différentielle y′ = ay où a est une constante réelle
Les solutions de l’équation différentielle y′ = ay ou = ay sont les fonctions définies sur ℝ par :
x ↦ keax, où k est une constante réelle quelconque.
L’équation différentielle y′ = ay ou = ay admet une solution f, et une seule, définie sur ℝ, vérifiant la condition initiale f(x0) = y0, où x0 et y0 sont donnés.
Exemple
On considère l’équation différentielle (E) : , dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur ℝ et y′ la fonction dérivée de y.
• Toutes les solutions de (E) sont donc définies sur ℝ par : , où k est une constante réelle quelconque.
• Déterminons la solution particulière f de (E) qui vérifie f′(0) = – 6.
Pour tout x de ℝ, .
(eu)′ = u′eu.
f′(0) = 6 se traduit par : ; e0 = 1, donc ; k = 8.
La solution cherchée est définie sur ℝ par : .
Résolution de l’équation différentielle y′ = ay + b où a et b sont des constantes
Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b ou = ay + b sont les fonctions définies sur ℝ par :
, où k est une constante réelle quelconque.
L’équation différentielle y′ = ay + b ou = ay + b admet une solution f, et une seule, définie sur ℝ, vérifiant la condition initiale f(x0) = y0, où x0 et y0 sont donnés.
Exemple
La modélisation d’un phénomène physique conduit à l’équation différentielle (E) : 2y′ + y = , où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ et y′ est la fonction dérivée de y.
• L’équation différentielle (E) s’écrit : . C’est une équation de la forme y′ = ay + b, avec et .
Les solutions sont donc définies sur ℝ par : , où k est une constante réelle quelconque.
• Déterminons la solution particulière ϕ de (E) qui vérifie ϕ(0) = 0.
ϕ(0) = 0 se traduit par :
; ; .
ϕ est définie par : .