Dérivation

I. Approche graphique du nombre dérivé

1) Sécante et tangente

Sécante à une courbe en un point

La courbe 𝒞 est la représentation graphique d’une fonction f. A est un point fixe d’abscisse a et d’ordonnée f(a).

On considère le point M de la courbe 𝒞 d’abscisse a + h et d’ordonnée f(a + h).

La droite (AM) est sécante à la courbe 𝒞.

Le taux d’accroissement de la fonction f entre les valeurs a et a + h est : f(a+h)−f(a)(a+h)−a=f(a+h)−f(a)h.

Le taux d’accroissement f(a+h)−f(a)h est le coefficient directeur de la sécante (AM).

À savoir

Le taux d’accroissement d’une fonction f entre les valeurs distinctes x1 et x2 est : f(x2)−f(x1)x2−x1.

Le coefficient directeur de la droite (AB) qui passe par les points A(xA, yA) et B(xB, yB) est : m=yB−yAxB−xA.

Tangente à une courbe en un point

On imagine que le point M se déplace sur la courbe 𝒞. En se rapprochant de A. L’abscisse a + h de M se rapproche de l’abscisse a de A, c’est-à-dire que h se rapproche de 0. Lorsque h tend vers 0, les sécantes (AM) tendent vers une position limite représentée par la droite (AT) sur la figure, appelée tangente à la courbe au point A.

2) Nombre dérivé en un point

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle et soit a un nombre fixé de cet intervalle.

Le nombre dérivé de la fonction f en a, noté f′(a), est, si elle existe, la limite finie quand h tend vers 0 du taux de variation f(a+h)−f(a)h de la fonction f au point a.

Si f′(a)existe, la fonction f est dérivable en a.

II. Fonction dérivée

1) Définition

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

La fonction dérivée de f est la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé f′(x) de f en x.

f′:x→f′(x)

2) Opérations sur les fonctions dérivables

Dans ce qui suit, f et g sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I. k est une constante réelle quelconque.

(f+g)′(x)=f′(x)+g′(x)    (kf)′(x)=kf′(x)

3) Dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».

Exemple

• Soit f la fonction définie sur ℝ pour : f(x)=3x+2.

Pour tout x de ℝ, f′(x)=3.

• Soit f la fonction définie sur ℝ pour : f(x)=−3x2+4x−1.

Pour tout x de ℝ, f′(x)=2(−3)x+4=−6x+4.

• Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=−2x3−6x2+3x+4.

Pour tout x de ℝ, f′(x)=3(−2)x2+2(−6)x+3=−6x2−12x+3.

III. Construction et équation réduite d'une tangente

1) Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur (rappel)

Coefficient directeur

Soit 𝔇 la droite d’équation y=mx+p dans un repère (O ; i→, j→), m est le coefficient directeur de 𝔇 et p est l’ordonnée à l’origine de 𝔇.

Expression du coefficient directeur m d’une droite passant par deux points donnés.

Soit M1(x1, y1) et M2(x2, y2) deux points de 𝔇 d’abscisses différentes : alors m=y2−y1x2−x1.

Une méthode pour construire une droite passant par un point donné A et dont le coefficient directeur m est donné. À partir du point A(xA, yA) de la droite 𝔇, d’équation y=mx+p, on obtient un deuxième point B de la droite 𝔇 en ajoutant 1 à l’abscisse A et m à l’ordonnée de A : xB=xA+1 et yB=yA+m.

2) Construire la tangente à une courbe en un point

On remplace dans la méthode du A m par f′(a) le coefficient directeur de la tangente.

À partir du point donné A(xA, yA) où yA=f(xA), on obtient un deuxième point B de la tangente 𝔇 en ajoutant 1 à l’abscisse de A et f′(xA) à l’ordonnée de A : xB=xA+1 et yB=yA+f′(xA).

3) Équation de la tangente en un point à la courbe représentative de f

Équation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction au point d’abscisse a

y = f′(a)(x – a) + f(a).

Exemple

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x² – x – 1.

On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d’abscisse a = 1. Une équation de la tangente est donc : y = f′(1) (x – 1) + f(1).

f(1) = 2 – 1 – 1 = 0.

Pour calculer f′(1) il faut d’abord déterminer f′(x).

Pour tout x de ℝ, f′(x) = 2(2x) – 1, f′(x) = 4x – 1. D’où f′(1) = 3.

L’équation de la tangente est donc : y = 3(x – 1) + 0 ; y = 3x – 3.

IV. Sens de variation d'une fonction

Le signe de la dérivée comme conséquence du sens de variation de la fonction

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f est croissante sur I, alors f′(x)≥0 pour tout x de I.

• Si f est décroissante sur I, alors f′(x)≤0 pour tout x de I.

• Si f est constante sur I, alors f′(x)=0 pour tout x de I.

Le sens de variation d’une fonction comme conséquence du signe de la dérivée.

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f′(x)>0 pour tout x de I, alors f est strictement croissante sur I.

• Si f′(x)<0 pour tout x de I, alors f est strictement décroissante sur I.

• Si f′(x)=0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.

Exemple

On considère la fonction f définie sur [–2, 3] par :

f(x) = x³ – 3x² + 1.

• Pour tout x appartenant à [0, 3], f′(x) = 3x² – 3(2x) + 0, f′(x) = 3x² – 6x, f′(x) = 3x(x – 2).

• Les solutions de l’équation f′(x) = 0 sont 0 et 2. x – 2 ≥ 0 équivaut à x ≥ 2.

Lorsque x varie dans [0, 3], le signe de f′(x) = 3x(x – 2) est donné par le tableau :

On peut alors remplir le tableau de variation suivant :

Minimums et maximums

La lecture du tableau de variation ou l’observation de la représentation graphique d’une fonction f permet de déterminer ses éventuels extremums (minimum m et maximum M) sur son intervalle de définition I. Si m et M existent, alors, pour tout x de l’intervalle I, on a : m≤ f(x)≤M.

Théorème

Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum (ou un minimum) en un point a distinct des extrémités de I, alors f’ (a) = 0.