Ensemble puissance et produits cartésiens

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Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Ensemble puissance

1) Définition de l'ensemble puissance

L'ensemble puissance d'un ensemble A\text{A}, noté P(A)\text{P}(\text{A}) ou 2A2^A, est l'ensemble de tous les sous-ensembles possibles de A\text{A}, y compris l'ensemble vide et A\text{A} lui- même.

2) Exemple

Si A=\text{A} = {11, 22}, alors P(A)\text{P}(\text{A}) = {∅, {11}, {22}, {11, 22}}.

3) Propriétés

  • Cardinalité : Si un ensemble A\text{A} a n\text{n} éléments, alors P(A)\text{P}(\text{A}) aura 2n2^\text{n} éléments.
  • Relations : L'ensemble puissance démontre la relation entre les ensembles et leurs sous-ensembles.

II. Produit cartésien

1) Définition du produit cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles A\text{A} et B\text{B}, noté A×B\text{A} \times \text{B}, est l'ensemble de toutes les paires ordonnées possibles (a,b)(\text{a}, \text{b}), où a\text{a} appartient à A\text{A} et b\text{b} appartient à B\text{B}.

2) Exemple

Si A=\text{A} = {11, 22} et B=\text{B} = {a\text{a}, b\text{b}}, alors A×B=\text{A} \times \text{B} = {(11,a\text{a}), (11, b\text{b}), (22, a\text{a}), (22, b\text{b})}.

3) Propriétés

  • Cardinalité : Si A\text{A} a m\text{m} éléments et B\text{B} a n\text{n} éléments, alors A×B\text{A} \times \text{B} aura m×n\text{m} \times \text{n} éléments.
  • Non commutativité : En général, \text{A} \times \text{B} ≠ \text{B} \times \text{A}.

Je retiens

picture-in-text Ensemble puissance : Comprend tous les sous-ensembles d'un ensemble donné.

picture-in-text Produit cartésien : Forme des paires ordonnées à partir de deux ensembles.