Sous certaines conditions, si l’on connaît les dérivées de deux fonctions, il est possible de déterminer celle de leur somme, de leur composée.
I. Dérivée de x ↦ g(ax + b)
Théorème : Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction x ↦ g(ax + b) est dérivable sur I et a pour dérivée :
x↦a×g′ax+b
Exemple : Déterminer la dérivée de k : x↦ 4x−5.
k est définie si et seulement si 4x − 5 ≥ 0, soit x ⩾ 54, et est dérivable pour x>54. k est de la forme x ↦ g(ax + b) avec gX=X et ax + b = 4x − 5. On a donc k′x=a×g′ax+b=4×124x−5=24x−5.
À noter
Pour calculer g′ax+b, on calcule g′X et on remplace X par ax+b.
II. Dérivée de x ↦ eu(x)
Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de dérivée u′. La fonction x ↦ eu(x) est dérivable sur I et a pour dérivée :
x↦u′(x)×eu(x)
Exemple : Déterminer la dérivée de f : x ↦ e3x − 5.
La fonction f est dérivable sur ℝ comme composée de fonctions dérivables. f est de la forme eu, avec u(x) = 3x − 5, u′x=3. Donc f′x=3e3x−5.
III. Dérivée de x ↦ u 2(x)
Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de dérivée u′. La fonction x ↦ u2(x) est dérivable sur I et a pour dérivée :
x↦2u′xux
Exemple : Déterminer la dérivée de f : x ↦ (x2 + x − 1)2.
La fonction x ↦ x2 + x − 1 est dérivable sur ℝ car c’est un polynôme. La fonction f est donc dérivable sur ℝ. f est de la forme u2 avec u(x) = x2 + x − 1, u′x=2x+1. Donc f′x=22x+1x2+x−1.
À noter
Cette formule se généralise à x ↦ un(x), avec les mêmes hypothèses, et cette fonction a pour dérivée x↦n u′xun−1x.
Méthode
Déterminer une fonction dérivée
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes en précisant l’intervalle sur lequel ces fonctions sont dérivables :
a. f : x ↦ (x2 − 1)2
b. g:x↦x+1ex2+1
c. h:x↦1−3x
Conseil
L’expression de chaque fonction vous indique sa forme : selon le cas, appliquez la formule adéquate du cours.
a. La fonction x ↦ x2 − 1 est dérivable sur ℝ car c’est une fonction polynôme, donc la fonction f est dérivable sur ℝ.
f est de la forme u2 avec u′x=x2−1 et u′x=2x. Or u2′=2u′u, donc pour tout x réel, f′x=22xx2−1=4x(x2 − 1).
b. Les fonctions x ↦ x + 1 et x ↦ ex2+1 sont dérivables sur ℝ donc g est dérivable sur ℝ par produit.
À noter
Nous avons ici à la fois une composée et un produit ! N’oubliez pas les règles générales de dérivation.
g est de la forme v × w avec v(x) = x + 1 et wx= ex2+1 ; on a alors v′(x)=1 et il reste à déterminer la dérivée de w.
w est de la forme eu avec u(x) = x2 + 1 et u′x=2x. Or eu′=u′eu donc w′x=2xex2+1.
On en déduit que pour tout x de ℝ on a g′x= 1⋅ex2+1+x+12xex2+1= ex2+1(1+2x2+2x).
c. La fonction x↦1−3x est dérivable sur ℝ et est positive si et seulement si 1−3x ⩾ 0⇔−3x ⩾ −1⇔x ⩽ 13.
La fonction h est donc dérivable sur ]− ∞ ; 13[. h est de la forme g(ax+b) avec gx= x et ax + b = − 3x + 1. On a donc h′x =ag′ax+b.
Or g′x=12x, donc pour tout x ∈]− ∞ ; 13[, h′(x)=−3121−3x.