La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
I. Définition et notations
Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par :
pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[, ln x = y ⇔ x = ey
Conséquences :
Pour tout réel x strictement positif, eln x = x.
Pour tout réel y, ln(ey) = y.
On a en particulier :
ln 1 = 0
et
ln e = 1.
Définition : Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I, on définit la fonction ln u par :
pour tout x ∈ I, (ln u)(x) = ln(u(x))
II. Propriétés analytiques
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[, et pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ :
ln′x=1x
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.
limx→0+lnx=− ∞ et limx→+ ∞lnx=+ ∞.
Pour toute fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction ln u et dérivable sur I, et on a :
lnu′=u′u
III. Tableau de variations et courbe
À noter
Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Méthode
Étudier une fonction contenant des logarithmes
Étudier la fonction f définie par f(x) = ln(1 + e-x).
Conseils
Étape 1 Déterminez l’ensemble de définition de f.
Étape 2 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.
Étape 3 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.
Étape 4 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
Étape 5 Dressez le tableau de variations de f.
Solution
Étape 1 La fonction ln est définie sur ]0 ; + ∞[. Or, pour tout réel x, e-x > 0 donc 1 + e-x > 0.
Donc f est définie sur ℝ.
Étape 2 f est dérivable sur ℝ car f est de la forme ln u avec u(x) = 1 + e-x, strictement positive pour tout réel x et dérivable sur ℝ. Or lnu′=u′u avec u′x=−e−x pour tout x ∈ ℝ.
Donc pour tout réel x, f′x=−e−x1+e−x.
Étape 3 La fonction exponentielle est strictement positive, d’où e−x1+e−x>0 et f′x<0 pour tout réel x.
Donc f est strictement décroissante sur ℝ.
Étape 4 On sait que limx→− ∞e−x=limX→+ ∞eX=+ ∞, donc limx→− ∞1+e−x=+ ∞. Or limX→+ ∞lnX=+ ∞, donc, par composition, limx→− ∞fx=+ ∞.
On sait que limx→+ ∞e−x=0, donc limx→+ ∞1+e−x=1.
Or limX→1lnX=ln1=0 donc, par composition, limx→+ ∞fx=0.
Étape 5
