Définition de l’intégrale

L’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle I est l’aire de la surface comprise entre sa courbe et l’axe des abscisses.

I. Intégrale d’une fonction continue positive

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O ;  i→  ;  j→). f désigne une fonction continue sur un intervalle [a ; b], a ⩽ b. On note C la courbe représentative de f dans le repère (O ;  i→  ;  j→).

Soient I et J des points du plan tels que OI→  =  i→, OJ→  =  j→. .

On appelle unité d’aire (notée u.a.) l’aire du rectangle de longueur OI et de largeur OJ.

Définition : Si f est positive sur [a ; b], ­l’intégrale de f sur [a ; b] est l’aire, exprimée en u.a., du ­domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

On la note ∫abf(t)dt.

a et b s’appellent les bornes de l’intégrale.

Par convention, pour tous réels a et b tels que a ⩽ b :

∫aaftdt  =  0 et ∫baftdt  =  −∫abftdt

II. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition : Si f est négative sur [a ; b], l’intégrale de f sur [a ; b], toujours ­notée ∫abftdt, est l’opposée de l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

Définition : Si f n’est pas de signe constant sur [a ; b], on découpe [a ; b] en intervalles [a ; a₁], [a₁ ; a₂], … , [a_n ; b] sur lesquels f est de signe constant ; l’intégrale de f sur [a ; b] est la somme des intégrales de f sur ces segments.

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b, c de I, on a :

_{∫acftdt  =  ∫abftdt  +  ∫bcftdt}

Méthode

Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles

On considère la fonction inverse f définie sur ℝ* par fx  =  1x, et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C, et les droites d’équations x = 1 et x = 2. On cherche à encadrer l’aire de ce domaine, notée A.

Soit n un entier naturel non nul. On découpe l’intervalle [1 ; 2] en n ­intervalles de même longueur. En considérant l’aire des rectangles « sous la courbe » et l’aire des rectangles « sur la courbe », montrer que :

_{1n  +  1  +  1n  +  2  +  ...  +  1n  +  n ⩽ A ⩽ 1n  +  1n  +  1  +  ...  +  1n  +  n  −  1}

puis que 0 ⩽ A  − 1n  +  1  +  1n  +  2  +  ...  +  12n ⩽ 12n.

Soit k ∈ {1, 2, ..., n}.

Sur [1  +  k  −  1n  ;  1  +  kn], on construit deux rectangles R_k et r_k de hauteurs ­respectives f1  +  k  −  1n et f(1  +  kn) .

On a, par décroissance de f,

aire(r₁) + aire (r₂) + ... + aire(r_n) ≤ A ≤ aire(R₁) + aire(R₂) + ... + aire(R_n),

avec aireRk  =  1n  ×  f1  +  k  −  1n  =  1n  ×  nn  −  1  +  k  =  1n  −  1  +  kairerk  =  1n  ×  f1  +  kn  =  1n  ×  nn  +  k  =  1n  +  k

On en déduit que

1n  +  1  +  1n  +  2  +  ...  +  1n  +  n ⩽  A ⩽ 1n  +  1n  +  1  +  ...  +  1n  +  n  −  1.

En retranchant 1n  +  1  +  1n  +  2  +  ...  +  1n  +  n à tous les membres, on obtient

_{0 ⩽ A  −  (1n  +  1  +  1n  +  2  +  ...  +  12n) ⩽ 1n  −  12n  =  12n}.