La recherche d’une primitive d’une fonction est l’opération inverse de la dérivation.
I. Primitives usuelles
On déduit du tableau des dérivées, le tableau des primitives usuelles.
II. Opérations et composition
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Exemple : f:x↦2x−1x2−x admet pour primitive F : x ↦ ln|x2 - x| sur tout intervalle ne contenant ni 0 ni 1.
Méthode
Déterminer des primitives
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
a. fx=2x3+3x, pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ ;
b. gx=x1+x2, pour tout x ∈ ℝ.
Conseils
Étape 1 Justifiez l’existence des primitives.
Étape 2 Déterminez s’il s’agit d’une primitive de référence ou reconnaissez uneopération ou une fonction composée (dans ce cas, définir u et exprimer u′). Concluez.
a. Étape 1 La fonction f est continue sur ]0 ; + ∞[ comme somme de fonctions continues ; elle y admet donc des primitives.
Étape 2 x ↦ x44 est une primitive de x ↦ x3, et x ↦ lnx est une primitive de x↦1x sur ]0 ; + ∞[ ; donc les primitives de f sur ]0 ; + ∞[ sont de la forme Fx=2×x44+3lnx+C= x42+3lnx+C, où C est une constante réelle.
b. Étape 1 La fonction g est continue sur ℝ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas ; elle admet donc des primitives sur ℝ.
Étape 2 Posons u (x) =1 + x2. La fonction u est dérivable sur ℝ et u′x=2x.
Pour tout x ∈ ℝ, gx=12×2x1+x2=12u′xux, avec pour tout réel x, u(x) = 1 + x2 > 0.
Donc les primitives de g sur ℝ sont de la forme G(x)=12ln1+x2+C où C est une constante réelle.