I. Rappels de cours
Une identité remarquable
Quels que soient les nombres réels a et b, nous avons :
Remarque 1
Il ne faut pas oublier qu'une égalité se lit dans les deux sens. Cette identité remarquable peut donc se lire également :
.
Remarque 2
Quand je transforme une somme ou une différence en un produit, je dis que je factorise.
Quand je transforme un produit en une somme ou une différence, je dis que je développe.
II. Méthodes
1) Reconnaître cette identité remarquable : puis-je l'utiliser ?
Puis-je utiliser cette identité remarquable dans les exemples suivants ?
a.
b.
c.
d.
e.
Conseils
Ecris ce que vaudraient et et repère bien si les signes utilisés sont corrects pour pouvoir appliquer ton identité remarquable.
Solution
a.
Je pose et . La forme proposée est du type qui est égal à .
Conclusion : .
b. ressemble à en posant par exemple et .
Conclusion : .
c.
J'ai une somme entre les deux termes.
Conclusion : je ne peux pas factoriser cette expression avec cette identité remarquable.
d.
Dans les deux parenthèses, j'ai le même signe.
Conclusion : Je ne peux pas utiliser cette identité remarquable. Je devrai utiliser la double distributivité.
e.
Je pose et .
Conclusion : .
2) Utiliser cette identité remarquable pour calculer mentalement
Calculer sans utiliser de calculatrice.
A=101×99
Conseils
- Pour , remarque que et .
Utilise alors ton identité remarquable.
Solution
- Nous avons .
Nous savons que .
Alors ou encore .
À noter
Tu peux vérifier ce résultat avec ta calculatrice.
3) Utiliser cette identité remarquable pour résoudre des équations
Soit à résoudre l'équation d'inconnue : . (1)
Je peux diviser les deux membres par , j'obtiens .
Je retranche aux deux membres, cela donne : .
J'utilise alors mon identité remarquable, cela donne : .
Je sais qu'un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. Cette équation est donc équivalente à écrire :
ou soit
ou .
Il est facile de vérifier en reportant ces valeurs dans l'équation proposée (1) que ces deux solutions conviennent.
Conclusion : l'équation proposée admet deux solutions qui sont et .
test qui n'a rien à voir avec la leçon : (puisque tu es en 3e, ne lis pas ! )
\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \text{si }&x\le a~,&F(x)&=&P(X\le x)&=&0 \\ \text{si }&a< x< b~,&F(x)&=&P(X\le x)&=&\dfrac{x-a}{b-a}\\ \text{si }&x\ge b~,&F(x)&=&P(X\le x)&=&1\end{aligned} \right.\end{equation}
a< x< b et a> x> b