Suites géométriques

Les suites géométriques sont des suites de références utilisées pour étudier les phénomènes qui évoluent à taux constant.

I. Définitions et caractérisation

Définition. Une suite u est géométrique si et seulement s’il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1}=u_n\times q$.

Le réel q s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites géométriques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont à taux constants.

Théorème. La suite u est géométrique si et seulement s’il existe des réels q et a tels que pour tout entier naturel n :

$u_n=a\times q^n$

II. Propriétés

À noter (si on sait que les termes de la suite sont différents de 0)

Un contre-exemple suffit. Par exemple, si $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$,

la suite u n’est pas ­géométrique.

Dans un repère du plan, toute suite géométrique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction exponentielle.

Une suite à termes non nuls u est géométrique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est indépendant de n.

Soit une suite u géométrique de raison q non nulle alors, pour tous entiers naturels n et p :

$u_n=u_p\times q^{n-p}$.

III. Somme 1 + q + … + q^n

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel q ≠ 1 on a :

$1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

À noter

Au numérateur du membre de droite, l’exposant de q est le nombre de termes de la somme de gauche.

Application. Soit la suite u géométrique de raison q et de premier terme $u_0 = a$ et n un entier naturel non nul :

$u_0+u_1+\dots+u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Méthodes

1)  Déterminer si une suite est géométrique

On considère les suites u, v et w définies pour tout n ∈ ℕ par :

• $u_n=(3n+1)^2$

• $v_n=5\times 2^n\times 2^{-2}\times\left(\dfrac 13\right)^n$

• $w_n=\dfrac13 (4^n-1)$

Les suites u, v et w sont-elles géométriques ?

Conseil

Pour montrer qu’une suite $(x_n)$ est géométrique, soit on montre que le ­quotient $\dfrac{x_{n+1}}{x_n}$ est constant (à condition de savoir que les termes ne sont pas nuls), soit on montre que $(x_n)$ est une fonction de n

de la forme n ↦ $a\times q^n$.

 

Solution

On a $u_0 = 1$, $u_1 = 16$ et $u_2 = 49$, comme $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$, la suite u n’est pas géométrique.

Pour tout n ∈ ℕ, $v_n=5\times 2^n\times \dfrac14 \times \left(\dfrac13\right)^n$ donc $v_n=\dfrac 54\left(\dfrac23\right)^n$. On en déduit

que la suite v est géométrique de premier terme $v_0=\dfrac54$ et de raison $q=\dfrac23$.

On a $w_0=0$ et $w_1=1$, quelque soit le réel q, donc $w_1\neq q\times w_0$ donc la suite w n’est pas géométrique.

2)  Déterminer un terme ou la raison d’une suite géométrique

a. Soit la suite géométrique u de raison – 3 telle que $u_3=2$. Que vaut $u_5$ ?

b. Soit une suite géométrique v telle que $v_4=3$ et $v_6=15$. Quelle est sa raison q ?

Conseil

On sait que pour une suite géométrique $(x)$ de raison q, $\dfrac{x_m}{x_n}=q^{m-n}$.

 

Solution

a. On a u_5 = u_3 × (-3)^2 donc $u_5 = 18$.

b. On a $\dfrac{v_6}{v_4}=q^2$ donc q² = 5 puis $q=-\sqrt 5$ ou $q=\sqrt 5$.

Remarque : Il ne suffit pas toujours de connaître deux termes d’une suite géométrique pour en connaître la raison.