Légende de la leçon
Vert : définition
I. Rappels de cours
1) Solutions d’une inéquation
Résoudre une inéquation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue (souvent désignée par x) vérifiant l’inéquation.
On obtient ainsi la ou les solutions de l’inéquation.
On peut représenter l’ensemble des solutions sur une droite graduée.
2) Règles
On peut ajouter ou soustraire un même nombre à chacun des membres d’une inéquation.
On peut multiplier ou diviser chacun des membres d’une inéquation par un même nombre non nul.
Attention
Si ce nombre est positif, on conserve le sens de l’inégalité. Si ce nombre est négatif, on change le sens de l’inégalité.
I. Méthodes
1) Résoudre une inéquation
Résoudre l’inéquation suivante :
3(− 2x+3)≥8−(7−5x)
Conseils
1. Après simplification de chaque membre de l’inéquation, isole les termes relatifs à l’inconnue dans un membre.
2. Simplifie afin d’obtenir une inéquation de la forme ax<b (ou ax>b), les inégalités pouvant être aussi au sens large.
3. Conclus par une phrase ou à l’aide d’une droite graduée.
Solution
Développons chaque membre de l’inéquation : − 6x+9≥8−7+5x.
Isolons l’inconnue : − 6x−5x≥1−9 ou encore − 11x≥− 8.
Divisons chaque membre de l’inégalité par − 11 en changeant le sens de l’inégalité, on obtient : x≤− 8− 11, soit x≤811.
Conclusion : les solutions de l’inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 811. Ils sont représentés par la partie hachurée :
2) Reconnaître des inéquations ayant les mêmes solutions
Parmi les trois inéquations suivantes, deux (et deux seulement) admettent les mêmes solutions. Quelle est l’inéquation qui n’admet pas les mêmes solutions que les deux autres ?
a. − 5x2+52<x2−20
b. x15−7>− 6,5
c. 5x×10−2+9+0,3x<9,375+4,5x15
Solution
a. Multiplions par 2 chaque membre de l’inéquation.
Nous obtenons − 5x+5<x−40.
Isolons l’inconnue : − 5x−x<− 40−5, soit − 6x<− 45.
Nous obtenons x>− 45− 6 ou encore x>7,5.
Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres supérieurs à 7,5.
b. Ajoutons 7 à chaque membre de l’inéquation.
Nous obtenons x15>− 6,5+7 ou encore x15>0,5.
Multiplions par 15 chaque membre de l’inéquation.
Nous obtenons x>7,5.
Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres supérieurs à 7,5.
c. Nous avons 0,05x+9+0,3x<9,375+0,3x ou encore, après simplification : 0,05x<9,375−9, soit x<0,3750,05.
Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres inférieurs à 7,5.
Conclusion : l’inéquation c n’admet pas les mêmes solutions que les autres c’est l’intruse cherchée.