Les moyennes

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Les calculs de moyennes relèvent du domaine de la statistique. Mais le terme de moyenne appartient aussi à notre vocabulaire courant : salaire moyen, note moyenne...​

1 - Apprendre le cours

A - La moyenne d'une série de valeurs

Pour calculer la moyenne d’un ensemble de valeurs, on divise la somme des valeurs par le nombre de valeurs. Cette moyenne est appelée moyenne arithmétique.

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La moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.

Exemple

Voici les temps (en secondes) mis par des coureurs du 400 m au cours d’un championnat : 50,45 ; 49,30 ; 52,60 ; 53,28 ; 51 ; 52,20 ; 51,82 ; 50. Il y a 8 valeurs dans la série.

Le temps moyen, en secondes, est : (50,45+49,30+52,60+53,28+51+52,20+51,82+50) / 8 = 410,65 / 8 = ≈ 51,33 s (au centième près).

La plus petite valeur est 49,30 ; la plus grande est 53,28. La moyenne 51,33 est comprise entre 49,30 et 53,28.

B - La moyenne pondérée​

Dans une série de valeurs, certains termes peuvent être égaux. Dans le calcul de la moyenne, il est alors plus rapide pour calculer la somme des valeurs de multiplier chaque valeur par l’effectif correspondant et d’ajouter les produits obtenus.

Exemples

Voici la série des notes obtenues par les 20 élèves d’une classe de 3e à une évaluation : 10 ; 15 ; 7 ; 10 ; 12 ; 12 ; 7 ; 9 ; 13 ; 10 ; 7 ; 10 ; 10 ; 12 ; 9 ; 12 ; 10 ; 10 ; 15 ; 12. On voit que : la note 7 a été obtenue 3 fois ; la note 9 a été obtenue 2 fois ; la note 10 a été obtenue 7 fois ; la note 12 a été obtenue 5 fois ; la note 13 a été obtenue
1 fois ; la note 15 a été obtenue 2 fois.

La note moyenne est : (7 × 3 + 9 × 2 + 10 × 7 + 12 × 5 + 13 × 1 + 15 × 2) / 20 = 212 / 20 = 10,6.

On dit que c’est la moyenne pondérée par les effectifs.


À un examen, Guy a obtenu : 10 en français (coefficient 2), 15 en mathématiques (coefficient 3) et 7 en anglais (coefficient 1). La moyenne des notes pondérée par les coefficients est : (10 × 2 + 15 × 3 + 7 × 1 ) / 2 + 3 + 1 = 72 / 6 = 12. 

C - La moyenne de moyennes

Si deux séries, de moyenne respective m1 et m2, ont le même nombre de termes, alors la moyenne de l’ensemble des termes des deux séries est la moyenne de m1 et m2.

Exemple

Au premier trimestre, Louis a fait 4 devoirs de mathématiques et a obtenu 12,6 de moyenne. Au deuxième trimestre, il a fait également 4 devoirs de mathématiques et a eu 11 de moyenne. Sa moyenne sur l’ensemble des devoirs des 2 trimestres est : (12,6 + 11) / 2 = 11,8

Mais, attention, cette propriété est fausse si les deux séries n’ont pas le même nombre de termes.

Exemple

Au premier trimestre, Hélène a fait 4 devoirs de français et a obtenu 12,6 de moyenne. Au deuxième trimestre, elle a fait 3 devoirs de français et a eu 11 de moyenne.

Sa moyenne sur l’ensemble des devoirs des deux trimestres est : (12,6 × 4 + 11 × 3) / 7  ≈ 11,91

D - La moyenne dans le cas de valeurs groupées en classe​

Lorsque les valeurs d’une série sont nombreuses, on peut les grouper en classes.

Exemple

Dans une entreprise, la répartition des salaires des 50 salariés est la suivante :

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Lecture : 18 salariés ont un salaire compris entre 1 500 € inclus et 1 600 € exclus.
Pour calculer la moyenne des salaires dans ce cas, on prend pour valeurs de la série les valeurs centrales des classes.

Le centre de la classe [1 500 ; 1 600[ est : (1500 + 1600) / 2 = 1550

La moyenne de la série précédente est : (1 350 × 11 + 1 450 × 13 + 1 550 × 18 + 1 650 × 8) / 50 = 74 800 / 50 = 1496 €

Méthode : comment utiliser une moyenne ?

Énoncé :  Cinq personnes sont réunies. On connaît l’âge de quatre d’entre elles : 10 ans ; 35 ans ; 17 ans ; 40 ans. L’âge moyen du groupe est 26 ans. Calculer l’âge de la cinquième personne.

Réponse : On calcule la somme des âges des cinq personnes : c’est le produit de l’âge moyen par le nombre de personnes. 26 × 5 = 130. À elles cinq, les personnes ont 130 ans.


On calcule l’âge de la cinquième personne : on retranche du total la somme
des âges des quatre autres personnes. 130 − (10 + 35 + 17 + 40) = 130 − 102 = 28. La cinquième personne a 28 ans.

2 - Appliquer le cours

EXERCICES

Calculs de moyenne​

1. Du 1er au 10 avril, Sarah relève les hauteurs de pluie tombée chaque jour : 5 mm, 7 mm, 6 mm, 0 mm, 1 mm, 0 mm, 8 mm, 10 mm, 7 mm, 5 mm. Calculer la moyenne journalière de hauteur de pluie.


2. Soit un échantillon de 100 tôles dont on a chronométré le temps de perçage. On a obtenu les résultats suivants :

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a. Calculer, en secondes, le temps total de perçage des 100 tôles.
b. Calculer, en secondes, le temps moyen de perçage.

3. Dans une salle, 9 personnes sont assises ; leur âge moyen est 25 ans. Dans une autre salle, 11 personnes sont réunies ; leur âge moyen est 45 ans. On rassemble les 2 groupes de personnes. 

Quel est l’âge moyen du groupe ainsi constitué ?

4. Un collège a 4 classes de 6e : A, B, C et D. Les tableaux ci-dessous donnent les notes sur 10 à un devoir commun :

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a. Calculer la moyenne de chaque classe à ce devoir. 

b. Calculer la moyenne de l’ensemble des élèves de 6e.

Utilisation de la moyenne​

5. Un marchand d’art met en vente 5 statuettes différentes. Le prix moyen de ces 5 statuettes est de 50 €. Il vend la plus jolie à un collectionneur. Le prix moyen des 4 statuettes restantes est de 40 €. Combien valait la statuette vendue ?


6. Agnès a eu 12 et 7 aux deux devoirs écrits d’anglais de coefficient 2. Elle a eu 14 et 17 aux tests oraux de coefficient 1.

a. Calculer sa moyenne.
b. Quelle note devra-t-elle avoir au prochain devoir de coefficient 2 pour obtenir 12 de moyenne ?

CORRIGÉ

Calculs de moyenne​

1. Hauteur moyenne : (5 + 7 + 6 + 0 + 1 + 0 + 8 + 10 + 7 + 5) / 10 = 49 / 10 = 4,9 mm.

2. a. 2 × 7 + 3 × 21 + 4 × 32 + 5 × 16 + 6 × 17 + 7 × 4 + 8 × 3 = 439. Le temps total de perçage des 100 tôles est 439 secondes.

b. On divise le temps total par le nombre de tôles : 439 / 100 = 4,39.

Le temps moyen de perçage est 4,39 secondes.

3. 9 + 11 = 20. Le nombre de personnes dans le nouveau groupe est 20. 25 × 9 + 45 × 11 = 720. La somme des âges est 720 ans.

720 / 20 = 36. L’âge moyen du nouveau groupe est 36 ans.

4. a. Moyenne de la classe A (30 élèves) : (2×3+5×9+7×12+10×6) / 30 = 6,5 ; moyenne de la classe B (18 élèves) : 6 ; moyenne de la classe C (20 élèves) : 4,5 ; moyenne de la classe D (24 élèves) : 5,75.

b.Moyenne de l’ensemble des sixièmes : (6,5×30+6×18+4,5×20+5,75×24) / (30 + 18 + 20 + 24) ≈ 5,77.

Utilisation de la moyenne​​

5. Prix total des 5 statuettes : 50 × 5 = 250 €. Prix des 4 statuettes restantes : 40 × 4 = 160 €. Prix de la statuette vendue : 250 − 160 = 90 €.


6. a. Moyenne : (12 × 2 + 7 × 2 + 14 + 17) ÷ 6 = 11,5. 
b. La somme des coefficients sera alors de 8.

12 × 8 = 96 ; 11,5 × 6 = 69.
La note est : (96 − 69) ÷ 2 = 13,5.