Pour résoudre certains problèmes, il est intéressant d’utiliser une méthode graphique. On peut faire appel aux équations de droites. Certaines droites sont la représentation graphique de fonctions affines.
1 - Apprendre le cours
A - Les fonctions affines
1) Définitions
Étant donnés deux nombres a et b, une fonction f qui à tout nombre x fait correspondre le nombre f(x) = ax + b est une fonction affine.
Exemple
Soit la fonction f définie par f(x) = − 0,5x + 2. Elle est de la forme f(x) = ax + b avec a = − 0,5 et b = 2 : c’est une fonction affine.
2) Cas particuliers
Si b = 0, f est une fonction linéaire.Si a = 0, f est une fonction constante.
Exemples
La fonction l définie par l(x) = − 1,8x est linéaire.
La fonction m définie par m(x) = 4 est constante.
3) Représentation graphique
La représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b est une droite qui passe par le point de coordonnées (0 ; b).
Les coordonnées d’un point quelconque de la droite sont (x ; f(x)), par conséquent (x ; ax + b).
Exemple
Soit la fonction affine f définie par f(x) = − 0,8x + 1.
Sa représentation graphique est la droite qui passe par les points de coordonnées (− 1 ; 1,8) et (2 ; − 0,6) par exemple.
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
La représentation graphique d’une fonction constante est une droite parallèle à l’axe des abscisses, donc horizontale.
Exemples
La fonction linéaire g définie par g(x) = 1,2x est représentée par la droite D1.
La fonction constante h définie par h(x) = 1,2 est représentée par la droite D2.
B - Équation de droite
Dans un repère, on considère une droite non parallèle aux axes.
Elle est la représentation graphique d’une fonction affine, et la relation qui lie les coordonnées (x ; y) d’un point quelconque de la droite est de la forme y = ax + b.
On dit que y = ax + b est l’équation de la droite.
Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite ; le nombre b est appelé ordonnée à l’origine.
Exemple
La droite D ci-dessous est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = − 0,8x + 1.
f(2) = − 0,8 × 2 + 1 = − 1,6 + 1 = − 0,6
f(− 1) = − 0,8 × (− 1) + 1 = 0,8 + 1 = 1,8
La droite D passe par les points (− 1 ; 1,8) et (2 ; − 0,6).
L’équation de D est : y = − 0,8x + 1.
La droite D a pour coefficient directeur − 0,8 et pour ordonnée à l’origine 1.
Méthode : Comment représenter graphiquement une fonction affine ?
Énoncé :
Représenter graphiquement dans le même repère les fonctions f, g et h définies sur [− 2 ; 3] par : f(x) = − 0,5x + 3 ; g(x) = 1,5x ; h(x) = 2.
Réponse :
On examine la nature de la fonction.
h est une fonction constante car h(x) est de la forme h(x) = b avec b = 2. Sa représentation graphique est donc la droite D3 parallèle à l’axe des abscisses et d’équation y = 2.
On détermine deux points pour tracer la droite D1 : (2 ; 2) et (− 2 ; 4) par exemple.
La détermination d’un seul point est suffisant pour tracer D2 puisqu’elle passe par l’origine, par exemple (2 ; 3).
Tous les points de la droite D3 ont pour ordonnée 2.
2 - Appliquer le cours
EXERCICES
Fonctions affines
a. Quelles sont les fonctions affines ?
b. Quelles sont les fonctions linéaires ?
c. Quelles sont les fonctions constantes ?
2. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal, les fonctions f, g et h définies par f(x) = 0,5x − 1,5, g(x) = − 1,5x et h(x) = −1 sur l’intervalle [− 2 ; 2].
3. Soit la fonction f définie sur [− 2 ; 3] par f(x) = 3x − 1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
Application à un problème concret
4. La variation de la pression atmosphérique avec l’altitude s’accompagne d’une raréfaction de l’air. La pression atmosphérique p, en hectopascal (hPa), en fonction de l’altitude h, en mètres (m), peut être modélisée, entre 0 et 9 000 mètres, par la
fonction p définie par :
a. Compléter le tableau de valeurs suivant. Arrondir les valeurs à l’unité.
b. Tracer la représentation graphique de la fonction p dans un repère orthogonal. Unités graphiques : en abscisses, 1 cm pour 1 000 mètres, en ordonnées, 1 cm pour 200 hPa.
c. Indiquer l’évolution de la pression atmosphérique lorsque l’altitude augmente.
CORRIGÉ
Fonctions affines
La fonction f, représentée par Cf', est une fonction affine.
La fonction g, représentée par Cg', est une fonction linéaire.
3.
Application à un problème concret
4. a
b.
c. La pression atmosphérique baisse lorsque l’altitude augmente.