Un système peut voir sa température T varier entre un état initial et un état final. Il existe un modèle mathématique qui permet de déterminer l’évolution temporelle de cette température.
I. Bilan d’énergie d’un système incompressible
Un système incompressible (c’est-à-dire dont le volume ne peut pas varier) et au contact d’un thermostat échange uniquement de l’énergie thermique Q. Si on note C la capacité thermique de ce système, le premier principe de la thermodynamique donne la variation de l’énergie interne U d’un tel système :
Mot-clé
Un thermostat est un système qui peut échanger de la chaleur afin de garder sa température constante au cours du temps.
ΔU=Q=C×ΔT=C×Tfinal−Tinitial
La température du système, initialement à une valeur Tinitial = T0, évolue pour atteindre la valeur Tfinal = Tthermostat.
La loi phénoménologique de Newton, indique que la variation temporelle de la température T d’un système incompressible (c’est-à-dire dont le volume ne peut pas varier) est proportionnelle à la différence de température entre le système et le milieu environnant considéré comme un thermostat de température :
α est une constante positive caractéristique du système.
II. Modélisation de l’évolution de la température d’un système
La loi de Newton est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant :
dTtdt=−α×Tt−Tthermostat⇔dTtdt+α×Tt=α×Tthermostat.
La solution d’une telle équation différentielle a pour expression :
Tt=A+B×e−αt
Les coefficients A et B sont déterminés à partir de la condition initiale et de la condition finale associées à la température T(t) : T(0) = T0 et T(t→∞) = Tthermostat.
La solution de la loi de Newton a pour expression :
Tt=Tthermostat+T0−Tthermostat×e−αt
Méthode
Suivre et modéliser l’évolution d’une température
Un système incompressible possède une température initiale t = 20 °C. On le met au contact d’un thermostat dont la température est égale à 40 °C.
a. Quelle sera la température finale du système ?
b. Déterminer l’expression de la température en fonction du temps, solution de l’équation différentielle associée à la loi de Newton :
dTtdt=−α×Tt−Tthermostat.
c. Sachant que le coefficient α est égal à 0,30 min−1, calculer la valeur de la température du système au bout d’une durée égale à 200 secondes.
Conseils
a. Rappelez-vous qu’un thermostat est un système dont la température reste constante au cours du temps.
b. Rappelez-vous que la solution générale a pour expression :
Tt=A+B×e−αt.
c. Pensez à convertir α en s−1 : 1 min−1 = 160 s−1.
Solution
a. La température finale du système est égale à celle du thermostat : 40 °C.
b. La solution générale a pour expression Tt=A+B×e−αt.
On exprime la condition initiale et la condition finale associées à la température Tt pour trouver A et B : T(0) = T0 et T(t→∞) = Tthermostat
T0=T0⇔A+B×e−α×0=T0⇔A+B=T0
limt→∞A+B×e−αt=Tthermostat⇔A+B×0=Tthermostat⇔A=Tthermostat.
Tt=Tthermostat+T0−Tthermostat×e−αt
c. On convertit α en s−1 :
Tt=40+20−40×e−αt=40−20×e−5,0 × 10−3× t.
On calcule la température du système au bout d’une durée égale à 200 secondes :