I. Rappels de cours
1) Section d’un cube
La section d’un cube par un plan parallèle à une face est un carré dont le côté possède la même mesure que l’arête du cube .
La section d’un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle.
2) Section d’un parallélépipède rectangle
La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un plan parallèle à une face est un rectangle dont les dimensions sont égales à celles de cette face.
La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un plan parallèle à une arête est un rectangle .
3) Section d’un cylindre de révolution
La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle .
La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle (ou un disque) de même rayon que celui de la base du cylindre de révolution.
4) Sections d’une pyramide et d’un cône de révolution
La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone de même nature que la base de la pyramide. C’est une réduction du polygone de base .
La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un cercle (ou un disque) qui est une réduction de la base.
II. Méthode
Étudier la section d’une pyramide par un plan parallèle à la base
ABCD est un carré de centre O et de côté 5 cm. La droite (OK) est orthogonale au plan formé par le carré ABCD. KABCD est une pyramide notée 𝒫 telle que OK = 2AB.
On coupe la pyramide 𝒫 par un plan parallèle à sa base carrée ABCD. Ce plan coupe les segments [KA], [KB], [KC], [KD] et [KO] respectivement en A′ , B′ ,C′ , D′ et O′ . On donne KO′ =3 cm.
a. Calculer la mesure exacte du volume V de 𝒫 .
b. Quelle est la nature du quadrilatère A′ B′ C′ D′ ? En donner la dimension caractéristique, après avoir déterminé le coefficient de réduction.
c. Calculer la mesure exacte du volume V′ de la pyramide de sommet K et de base A′ B′ C′ D′ .
Solution
a. Nous avons V= × aire de la base × hauteur.
La hauteur OK mesure 2AB, soit 2 × 5 = 10 cm.
D’où V= × × 10,
soit V = 83,3 cm3.
b. A′ B′ C′ D′ est un quadrilatère de même nature que ABCD, c’est donc un carré.
Le coefficient de réduction est k = = .
Alors A′ B′ AB = k = , donc A′ B′ = × 5, soit A′ B′ =1,5 cm.
c. V′=k3×V donc V′=()3 × 83,3 = 2,25 cm3.