De la gamme tempérée à la gamme de Pythagore

La gamme de Pythagore, utilisée en Occident jusqu’au Moyen Âge, présente plusieurs imperfections que l’on a essayé d’amoindrir en inventant d’autres gammes.

I Dissonances de la gamme de Pythagore

1  Cycle des quintes

Si l’on applique le critère de construction par quintes successives à une fréquence quelconque, on s’aperçoit que le découpage produit une infinité de sons distincts à l’intérieur d’une octave. Par exemple, si l’on prend 12 fois la quinte de la fréquence de base fictive f0 = 1 Hz, on obtient :

$f_{12}=f_0\times {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\text{12}}= f_0\times \text{129,7}$

Si l’on change sept fois d’octave, du do1 au do7, chaque intervalle a pour valeur 2⁷ = 128. Or 129,7 ≠ 128. Cela signifie que 12 quintes ne correspondent pas exactement à 7 octaves.

En pratique, on considère que l’on a « bouclé la boucle » lorsqu’en partant d’une note fictive de 1 Hz on revient au voisinage de l’octave (2 Hz).

Doc Cycle des quintes sur sept octaves

En appliquant les règles de la gamme, on a :

– avec 5 quintes successives :

$1\times {\left(\frac{3}{2}\right)}^5\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\mathrm{1,898}\approx 2$ ;

– avec 7 quintes successives :

$1\times {\left(\frac{3}{2}\right)}^7\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\mathrm{2,136}\approx 2$ ;

– avec 12 quintes successives :

$1\times {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\text{12}}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\mathrm{2,027}\approx 2$.

On peut ainsi imaginer des gammes de 5, 7 ou 12 notes.

Représenté sous la forme d’une roue cyclique (doc.), le cycle des quintes ne boucle jamais. La dernière note est toujours différente de la note de départ à l’octave.

Pour maintenir des octaves pures, les musiciens introduisent un intervalle de quinte légèrement faux, appelé « quinte du loup », car lorsqu’on joue cette quinte trop courte, on produit un son ressemblant au hurlement du loup.

2  Transposition impossible

Dans la gamme pythagoricienne à sept notes, il n’existe que deux intervalles différents entre les notes, qui définiront les tons $\left(\frac{9}{8}\right)$ et les demi-tons $\left(\frac{256}{243}\right)$.

Repère
MOT CLÉ

Transposer un morceau musical, c’est modifier toutes les notes d’un ou plusieurs tons pour le jouer plus grave ou plus aigu.

Si l’on transpose cette gamme en augmentant par exemple chaque note d’un demi-ton, certaines risquent de ne pas retomber sur des notes existantes de la gamme. Le mi va bien se retrouver sur le fa et le si sur le do, mais les autres tomberont « entre deux notes ». La transposition est donc impossible.

II La gamme tempérée à 12 notes

Repère
À noter

$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$.

Le seul moyen d’avoir de vrais cycles et de permettre la transposition consiste à découper la gamme en intervalles égaux. Pour cela, il faut découper le rapport d’octave de 2 de la gamme en 12 intervalles (rapports r) égaux :

2 = $\frac{f_1}{f_0}\times \frac{f_2}{f_1}\times \frac{f_3}{f_2}\times \dots \times \frac{f_{12}}{f_{11}}$  = r¹², soit $r=2^{\frac{1}{12}}$,

c’est-à-dire la racine douzième de 2 : $r=\sqrt[12]{2}\cong \mathrm{1,059463}$.

Dans cette gamme, dite tempérée, chaque note n’est plus séparée de sa voisine par un rapport simple, mais par un facteur de $\sqrt[12]{2}$. Or ce nombre est un irrationnel : il ne correspond pas à une fraction, contrairement aux rapports de Pythagore.

Contestée parce que toutes ses notes sont fausses par rapport aux harmonies naturelles, cette gamme artificielle est la seule qui permette la transposition. C’est donc la plus facile à utiliser, quel que soit l’instrument de musique.