Appliquer le théorème de Thalès

Rappels de cours

Théorème de Thalès

Soient :

• deux droites 𝒟 et 𝒟 ′ sécantes en $\text{A}$ 

• $\text{B}$ et $\text{M}$ deux points de 𝒟 distincts de $\text{A}$ 

• $\text{C}$ et $\text{N}$ deux points de 𝒟 ′ distincts de $\text{A}$.

Si les droites $\left(\text{BC}\right)$ et $\left(\text{MN}\right)$ sont parallèles, alors :

$\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}=\frac{\text{MN}}{\text{BC}}$.

Méthodes

Calculer des distances dans le plan

L’unité de longueur est le centimètre.

Les droites $\left(\text{AB}\right)$ et $\left(\text{EF}\right)$ sont parallèles.

De plus, $\text{OA}=\text{2}$  $\text{OF}=\mathrm{1,5}$  $\text{OB}=3$ et $\text{EF}=\text{1,8}$.

Calculer les distances $\text{OE}$ et $\text{AB}$.

Repère
conseils

• Faites attention à l’ordre des points considérés !

• N’oubliez pas de justifier l’application du théorème de Thalès.

Repère
Solution

Les points $\text{A}$, $\text{O}$, $\text{F}$ sont alignés dans le même ordre que les points $\text{B}$, $\text{O}$, $\text{E}$. De plus, les droites $\left(\text{AB}\right)$ et $\left(\text{EF}\right)$ sont parallèles.

Nous pouvons donc appliquer le théorème de Thalès et écrire :

$\frac{\text{OA}}{\text{OF}}=\frac{\text{OB}}{\text{OE}}=\frac{\text{AB}}{\text{EF}}$.

En remplaçant les longueurs par leurs mesures dans l’égalité $\frac{\text{OA}}{\text{OF}}=\frac{\text{OB}}{\text{OE}}$, nous obtenons $\frac{2}{\mathrm{1,5}}=\frac{3}{\text{OE}}$, d’où $\text{OE}=\frac{3\times \mathrm{1,5}}{2},$

soit $\text{OE}=\mathrm{2,25}\text{ cm}$.

De même, $\frac{\text{OA}}{\text{OF}}=\frac{\text{AB}}{\text{EF}}$ donne $\frac{2}{\mathrm{1,5}}=\frac{\text{AB}}{\mathrm{1,8}}$, soit $\text{AB}=\mathrm{2,4}\text{ cm.}$

Construire un point sur un segment
selon un rapport donné

Sur une droite 𝒟 , on place deux points $\text{A}$ et $\text{B}$ tels que $\text{AB}=9\text{ cm,}$ puis on trace une droite $\Delta$ passant par $\text{A}$ mais pas par B. On place sur cette droite un point $\text{C}$ tel que $\text{AC}=\text{12 cm}$ et, sur le segment $\left[\text{AC}\right]$, on place le point $\text{E}$ tel que $\text{AE}=\text{5 cm}.$

Construire le point $\text{M}$ de $\left[\text{AB}\right]$ tel que $\frac{\text{MA}}{\text{MB}}=\frac{5}{7}$.

Repère
conseils

Retrouvez une configuration de Thalès en traçant la droite parallèle à $\left(\text{CB}\right)$ passant par E. Celle-ci coupe 𝒟 en P.

 

Repère
Solution

Les points A, E, C sont alignés dans le même ordre que les points A, P, B et les droites $\left(\text{EP}\right)$ et $\left(\text{CB}\right)$ sont parallèles.

Le théorème de Thalès permet d’écrire : $\frac{\text{AP}}{\text{AB}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}=\frac{5}{12}$.

Mais $\text{AB}=\text{AP}+\text{PB}$, donc nous pouvons écrire : $\frac{\text{AP}}{\text{AP}+\text{PB}}=\frac{5}{12},$

soit $\text{5AP}+\text{5PB}=\text{12AP}$.

Alors $\text{7AP}=\text{5PB}$ et enfin $\frac{\text{PA}}{\text{PB}}=\frac{\text{5}}{\text{7}}$.

Le point $\text{P}$ est donc le point $\text{M}$ cherché.