Appliquer des transformations géométriques

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I. Rappels de cours

1) Quelques transformations

Symétrie axiale

02905_Figure_50_01

  • Le point MM' est le symétrique du point MM par rapport à la droite 𝒟 si 𝒟 est la médiatrice du segment [MM][MM'].
  • Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent après pliage de la feuille le long de la droite.

Symétrie centrale

02905_Figure_50_02

  • Le point MM' est le symétrique du point MM par rapport au point OO si ce point OO est le milieu du segment [MM][MM'].
  • Deux figures sont symétriques par rapport à un point OO si elles sont superposables après un demi-tour autour de OO (ou après rotation de 180o180^o de centre OO).

Rotation

02905_Figure_50_03

  • Le point MM' est l’image du point MM par la rotation d’angle α\alpha si OM=OMOM=OM' et MOM^=α\widehat{MOM'}=\alpha.
  • Cette rotation peut s’effectuer dans le sens des aiguilles d’une montre ou non.

Translation

02905_Figure_50_04

  • Dans le parallélogramme ABCDABCD, le point CC est l’image du point DD par la translation qui transforme le point AA en le point BB. On parle parfois de « glissement ».
  • L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
  • L’image d’une figure par une translation est une figure qui lui est superposable.


2) Propriétés de conservation

Ces transformations géométriques conservent les longueurs, les angles, les aires, les alignements, le parallélisme et la perpendicularité.


II. Méthode

Construire une figure à l’aide des transformations

a. Tracer un carré ABCDABCD de centre OO et de 2 cm2~cm de côté, puis :

  • placer le point EE image du point OO dans la symétrie de centre BB ;
  • placer le point FF image du point CC dans la translation qui transforme le point AA en le point OO ;
  • placer le point GG image du point EE dans la rotation de centre OO qui transforme BB en AA ;
  • placer le point HH tel que les droites (AD)(AD) et (GH)(GH) soient parallèles, GH=2ADGH=2AD et enfin que l’angle HGA^\widehat{HGA} soit aigu.

b. Démontrer que les droites (EF)(EF) et (AD)(AD) sont parallèles.

Conseils

Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut essayer d’appliquer la réciproque du théorème de Thalès. 


Solution

02905_Figure_50_05

a. Puisque EE est l’image de OO dans la symétrie de centre BB, alors BB est le milieu du segment [OE][OE].

Puisque FF est l’image CC dans la translation qui transforme AA en OO, alors les points OO, CC, FF sont alignés et AO=CFAO=CF.

Puisque GG est l’image de EE dans la rotation de centre OO qui transforme BB en AA, alors OG=OEOG=OE et EOG^=BOA^\widehat{EOG}=\widehat{BOA}.

Il existe a priori deux points HH possibles mais un seul donne un angle HGA^\widehat{HGA} aigu.


b.
Voici une démonstration possible. Les points OO, CC, FF sont alignés dans le même ordre que les points OO, BB, EE et, de plus, OCOF=OBOE=12\dfrac{OC}{OF}=\dfrac{OB}{OE}=12. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF)(EF) et (BC)(BC) sont parallèles. Or (BC)(BC) et (AD)(AD) sont parallèles puisque ABCDABCD est un carré. Donc (EF)(EF) et (AD)(AD) sont parallèles.