I. Rappels de cours
1) Quelques transformations
Symétrie axiale
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Symétrie centrale
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Rotation
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Translation
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2) Propriétés de conservation
Ces transformations géométriques conservent les longueurs, les angles, les aires, les alignements, le parallélisme et la perpendicularité.
II. Méthode
Construire une figure à l’aide des transformations
a. Tracer un carré de centre et de de côté, puis :
- placer le point image du point dans la symétrie de centre ;
- placer le point image du point dans la translation qui transforme le point en le point ;
- placer le point image du point dans la rotation de centre qui transforme en ;
- placer le point tel que les droites et soient parallèles, et enfin que l’angle soit aigu.
b. Démontrer que les droites et sont parallèles.
Conseils
Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut essayer d’appliquer la réciproque du théorème de Thalès.
Solution
a. Puisque est l’image de dans la symétrie de centre , alors est le milieu du segment .
Puisque est l’image dans la translation qui transforme en , alors les points , , sont alignés et .
Puisque est l’image de dans la rotation de centre qui transforme en , alors et .
Il existe a priori deux points possibles mais un seul donne un angle aigu.
b. Voici une démonstration possible. Les points , , sont alignés dans le même ordre que les points , , et, de plus, . D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles. Or et sont parallèles puisque est un carré. Donc et sont parallèles.